KORELAČNÍ KOEFICIENT: VZORCE, VÝPOČET, INTERPRETACE, PŘÍKLAD - DUDAS - 2025

Korelační koeficient ve statistikách je indikátorem toho, že opatření tendence dvou kvantitativních proměnných X a Y mají lineární nebo proporcionální vztah mezi nimi.

Obecně platí, že páry proměnných X a Y jsou dvě charakteristiky stejné populace. Například, X může být výška osoby a Y jeho hmotnost.

Obrázek 1. Korelační koeficient pro čtyři datové páry (X, Y). Zdroj: F. Zapata.

V tomto případě by korelační koeficient naznačoval, zda existuje trend k přiměřenému vztahu mezi výškou a hmotností v dané populaci.

Pearsonův lineární korelační koeficient je označen malým písmenem r a jeho minimální a maximální hodnoty jsou -1 a +1.

Hodnota r = +1 by znamenala, že množina párů (X, Y) je dokonale zarovnána a že když X roste, Y poroste ve stejném poměru. Na druhou stranu, pokud by se stalo, že r = -1, sada párů by také byla dokonale zarovnána, ale v tomto případě, když se X zvýší, Y klesne ve stejném poměru.

Obrázek 2. Různé hodnoty koeficientu lineární korelace. Zdroj: Wikimedia Commons.

Na druhé straně, hodnota r = 0 by znamenala, že neexistuje žádná lineární korelace mezi proměnnými X a Y. Zatímco hodnota r = +0,8 by naznačovala, že páry (X, Y) mají sklon se shlukovat na jedné straně a další z určité linie.

Vzorec pro výpočet korelačního koeficientu r je následující:

Jak vypočítat korelační koeficient?

Koeficient lineární korelace je statistická veličina, která je zabudována do vědeckých kalkulaček, většiny tabulek a statistických programů.

Je však vhodné vědět, jak se používá vzorec, který jej definuje, a pro tento účel se zobrazí podrobný výpočet, provedený na malém souboru dat.

A jak je uvedeno v předchozí části, korelačním koeficientem je kovariance Sxy dělená součinem směrodatné odchylky Sx pro proměnné X a Sy pro proměnnou Y.

Covariance a rozptyl

Kovbojská Sxy je:

Sxy = / (N-1)

Pokud součet jde od 1 do N párů dat (Xi, Yi). a jsou aritmetické prostředky dat Xi a Yi.

Jako směrodatná odchylka pro proměnnou X je druhá odmocnina rozptylu datové sady Xi s i od 1 do N:

Sx = √

Podobně je standardní odchylkou pro proměnnou Y druhá odmocnina rozptylu datové sady Yi, s i od 1 do N:

Sy = √

Ilustrativní případ

Abychom podrobně ukázali, jak vypočítat korelační koeficient, vezmeme následující sadu čtyř párů dat

(X, Y): {(1, 1); (2,3); (3, 6) a (4, 7)}.

Nejprve vypočítáme aritmetický průměr pro X a Y takto:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Poté se vypočítají zbývající parametry:

Covariance Sxy

Sxy = / (4-1)

Sxy = / (3) = 10,5 / 3 = 3,5

Standardní odchylka Sx

Sx = √ = √ = 1,29

Standardní odchylka Sy

Sx = √ =

√ = 2,75

Korelační koeficient r

r = 3,5 / (1,29 x 2,75) = 0,98

Výklad

V souboru dat v předchozím případě je pozorována silná lineární korelace mezi proměnnými X a Y, což se projevuje jak v rozptylovém grafu (na obrázku 1), tak v korelačním koeficientu, který poskytl hodnota docela blízko k jednotě.

Pokud je korelační koeficient blíže 1 nebo -1, tím větší smysl má přizpůsobit data linii, což je výsledek lineární regrese.

Lineární regrese

Lineární regresní linie je získána metodou nejmenších čtverců. ve kterém jsou parametry regresní linie získány z minimalizace součtu druhé mocniny rozdílu mezi odhadovanou hodnotou Y a Yi N dat.

Na druhé straně parametry aab b regresní přímky y = a + bx, získané metodou nejmenších čtverců, jsou:

* b = Sxy / (Sx ²) pro svah

* a = - b pro průnik regresní přímky s osou Y.

Připomeňme, že Sxy je výše definovaná kovariance a Sx ² je rozptyl nebo čtverec standardní odchylky definované výše. a jsou aritmetické prostředky dat X, respektive Y.

Příklad

Korelační koeficient se používá k určení, zda existuje lineární korelace mezi dvěma proměnnými. Je použitelné, pokud jsou sledované proměnné kvantitativní, a navíc se předpokládá, že sledují normální distribuci typů.

Ilustrativní příklad je uveden níže: měřítkem stupně obezity je index tělesné hmotnosti, který se získá dělením hmotnosti osoby v kilogramech na její druhou mocninu v jednotkách metrů čtverečních.

Chcete vědět, zda existuje silná korelace mezi indexem tělesné hmotnosti a koncentrací HDL cholesterolu v krvi, měřeno v milimolech na litr. Za tímto účelem byla provedena studie s 533 lidmi, což je shrnuto v následujícím grafu, ve kterém každý bod představuje údaje jedné osoby.

Obrázek 3. Studie BMI a HDL cholesterolu u 533 pacientů. Zdroj: Aragonský institut zdravotních věd (IACS).

Pečlivé pozorování grafu ukazuje, že mezi koncentrací HDL cholesterolu a indexem tělesné hmotnosti existuje určitý lineární trend (není příliš výrazný). Kvantitativní mírou tohoto trendu je korelační koeficient, který se v tomto případě ukázal jako r = -0,276.

Reference

1. González C. Obecné statistiky. Obnoveno z: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. Aragonský institut zdravotních věd. Obnoveno z: ics-aragon.com
3. Salazar C. a Castillo S. Základní principy statistiky. (2018). Obnoveno z: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Korelační koeficient. Obnoveno z: superprof.es
5. USAC. Popisný statistický manuál. (2011). Obnoveno z: statistics.ingenieria.usac.edu.gt
6. Wikipedia. Pearsonův korelační koeficient. Obnoveno z: es.wikipedia.com.