KOEFICIENT STANOVENÍ: VZORCE, VÝPOČET, INTERPRETACE, PŘÍKLADY - DUDAS - 2025

Koeficient stanovení je číslo mezi 0 a 1, která představuje zlomek bodů (x, y), které následují regresní linii záchvatu souboru dat se dvěma proměnnými.

To je také známé jako dobré shody a je označován R ². Pro jeho výpočet se vezme kvocient mezi rozptylem dat estimatedi odhadovaným regresním modelem a rozptylem dat Yi odpovídajících každému Xi dat.

R ² = Sy / Sy

Obrázek 1. Korelační koeficient pro čtyři páry dat. Zdroj: F. Zapata.

Pokud je 100% dat na řádku regresní funkce, pak bude koeficient určení 1.

Naopak, je-li pro soubor dat a určité funkce nastavovacího koeficient R ² ukáže, že je rovno 0,5, pak lze říci, že je nastavení 50% uspokojivé nebo dobré.

Podobně, když regresní model výtěžky R ² hodnoty nižší než 0,5, znamená to, že vybraná funkce nastavení nepřizpůsobuje uspokojivě na údaje, a proto je nutné hledat další funkce nastavení.

A když kovarianční nebo korelační koeficient k nule, pak proměnné X a Y v datech jsou nezávislé, a proto R ² také tendenci k nule.

Jak vypočítat koeficient stanovení?

V předchozí části bylo řečeno, že koeficient určení se vypočítá na základě zjištění kvocientu mezi odchylkami:

- Odhadováno regresní funkcí proměnné Y

-Tato z proměnné Yi odpovídající každé z proměnné Xi N datových párů.

Matematicky to vypadá takto:

R ² = Sy / Sy

Z této rovnice vyplývá, že R ² představuje podíl rozptylu vysvětleno regresního modelu. Alternativně, R ² je možno vypočítat podle následujícího vzorce, plně odpovídá předchozí:

R ² = 1 - (Sε / Sy)

Kde Sε představuje rozptyl zbytků εi = Ŷi - Yi, zatímco Sy je rozptyl sady hodnot Yi dat. Pro určení Ŷi je použita regresní funkce, což znamená, že Ŷi = f (Xi).

Rozptyl datové sady Yi s i od 1 do N se vypočítá tímto způsobem:

Sy =

A pak pokračujte podobným způsobem pro Sŷ nebo Sε.

Ilustrativní případ

Abychom ukázali podrobnosti o tom, jak se provádí výpočet koeficientu stanovení, vezmeme následující sadu čtyř párů dat:

(X, Y): {(1, 1); (2,3); (3, 6) a (4, 7)}.

Pro tento soubor dat, který se získá metodou nejmenších čtverců, se navrhuje lineární regresní přizpůsobení:

f (x) = 2,1 x -1

Použitím této seřizovací funkce se získají točivé momenty:

(X, Ŷ): {(1, 1,1); (2, 3,2); (3, 5,3) a (4, 7,4)}.

Pak vypočítáme aritmetický průměr pro X a Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2,5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4,25

Variance Sy

Sy = / (4-1) =

= = 7,583

Varianta Sŷ

Sŷ = / (4-1) =

= = 7,35

Koeficient determinace R ²

R ² = sy / Sy = 7,35 / 7,58 = 0,97

Výklad

Koeficient stanovení pro ilustrativní případ uvažovaný v předchozím segmentu se ukázal být 0,98. Jinými slovy, lineární nastavení funkcí:

f (x) = 2,1 x -1

Je to 98% spolehlivé při vysvětlování dat, s nimiž byly získány metodou nejmenších čtverců.

Kromě určovacího koeficientu existuje také lineární korelační koeficient nebo také známý jako Pearsonův koeficient. Tento koeficient, označený jako r, se vypočítá podle následujícího vztahu:

r = Sxy / (Sx Sy)

Čitatel zde představuje kovarianci mezi proměnnými X a Y, zatímco jmenovatel je součinem standardní odchylky pro proměnnou X a standardní odchylky pro proměnnou Y.

Pearsonův koeficient může nabývat hodnot mezi -1 a +1. Když tento koeficient inklinuje k +1, existuje přímá lineární korelace mezi X a Y. Pokud má sklon k -1 místo toho, existuje lineární korelace, ale když X roste, Y klesá. Konečně je blízko 0, neexistuje žádná korelace mezi oběma proměnnými.

Je třeba poznamenat, že koeficient určení se shoduje s druhou mocninou Pearsonova koeficientu, pouze pokud byl první vypočítán na základě lineárního přizpůsobení, ale tato rovnost neplatí pro ostatní nelineární přizpůsobení.

Příklady

- Příklad 1

Skupina studentů středních škol se rozhodla stanovit empirický zákon pro období kyvadla jako funkci jeho délky. K dosažení tohoto cíle provádějí řadu měření, při nichž měří dobu kyvadla kyvadla pro různé délky a získají následující hodnoty:

Délka (m)	Období
0,1	0,6
0,4	1.31
0,7	1,78
jeden	1,93
1.3	2.19
1.6	2,66
1.9	2,77
3	3,62

Je požadováno provést rozptyl dat a provést lineární přizpůsobení pomocí regrese. Také ukažte regresní rovnici a její koeficient určení.

Řešení

Obrázek 2. Graf řešení cvičení 1. Zdroj: F. Zapata.

Lze pozorovat poměrně vysoký koeficient determinace (95%), takže lze předpokládat, že lineární přizpůsobení je optimální. Pokud se však body dívají společně, mají tendenci se zakřivovat směrem dolů. Tento detail není uvažován v lineárním modelu.

- Příklad 2

Pro stejná data jako v příkladu 1 vytvořte rozptyl dat. Při této příležitosti, na rozdíl od příkladu 1, je vyžadována regresní úprava pomocí potenciální funkce.

Obrázek 3. Graf řešení cvičení 2. Zdroj: F. Zapata.

Také ukazují fit funkci a jeho koeficient determinace R ².

Řešení

Potenciální funkce má tvar f (x) = Ax ^B, kde A a B jsou konstanty, které jsou určeny metodou nejmenších čtverců.

Předchozí obrázek ukazuje potenciální funkci a její parametry, jakož i koeficient stanovení s velmi vysokou hodnotou 99%. Všimněte si, že data sledují zakřivení trendové linie.

- Příklad 3

Použitím stejných dat z příkladu 1 a příkladu 2 proveďte polynomiální přizpůsobení druhého stupně. Zobrazit graf, fit polynom, a odpovídající koeficient determinace R ².

Řešení

Obrázek 4. Graf řešení pro cvičení 3. Zdroj: F. Zapata.

S přizpůsobením polynomu druhého stupně můžete vidět linii trendu, která dobře zapadá do zakřivení dat. Koeficient stanovení je také nad lineárním přizpůsobením a pod potenciálním přizpůsobením.

Přizpůsobit srovnání

Ze tří zobrazených záchytů je ten, který má nejvyšší koeficient určení, potenciální přizpůsobení (příklad 2).

Potenciální přizpůsobení se shoduje s fyzikální teorií kyvadla, které, jak je známo, stanoví, že periody kyvadla jsou úměrné druhé odmocnině jeho délky, přičemž konstanta proporcionality je 2π / √g, kde g je gravitační zrychlení.

Tento typ potenciálního přizpůsobení má nejen nejvyšší koeficient determinace, ale exponent a konstanta proporcionality odpovídají fyzickému modelu.

Závěry

- Regresní úprava určuje parametry funkce, jejímž cílem je vysvětlit data pomocí metody nejmenších čtverců. Tato metoda spočívá v minimalizaci součtu druhé mocniny rozdílu mezi hodnotou Y úpravy a hodnotou Yi dat pro hodnoty Xi dat. To určuje parametry ladicí funkce.

- Jak jsme viděli, nejběžnější nastavovací funkcí je čára, ale není to jediná, protože úpravy mohou být také polynomiální, potenciální, exponenciální, logaritmické a další.

- Koeficient stanovení v každém případě závisí na údajích a typu seřízení a je známkou správnosti použitého seřízení.

- Konečně koeficient stanovení udává procento celkové variability mezi hodnotou Y dat vzhledem k hodnotě Ŷ úpravy pro dané X.

Reference

1. González C. Obecné statistiky. Obnoveno z: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. Aragonský institut zdravotních věd. Obnoveno z: ics-aragon.com
3. Salazar C. a Castillo S. Základní principy statistiky. (2018). Obnoveno z: dspace.uce.edu.ec
4. Superprof. Koeficient stanovení. Obnoveno z: superprof.es
5. USAC. Popisný statistický manuál. (2011). Obnoveno z: statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
6. Wikipedia. Koeficient stanovení. Obnoveno z: es.wikipedia.com.