QUADRILATERAL: PRVKY, VLASTNOSTI, KLASIFIKACE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Čtyřúhelník je polygon se čtyřmi stranami a čtyřmi vrcholy. Jeho protilehlé strany jsou ty, které nemají společné vrcholy, zatímco po sobě jdoucí strany jsou ty, které mají společný vrchol.

V čtyřúhelníku sousední úhly sdílejí jednu stranu, zatímco protilehlé úhly nemají žádné společné strany. Další důležitou charakteristikou čtyřúhelníku je to, že součet jeho čtyř vnitřních úhlů je dvojnásobkem rovinného úhlu, tj. 360 ° nebo 2π radiánů.

Obrázek 1. Různé čtyřúhelníky. Zdroj: F. Zapata.

Diagonály jsou segmenty, které spojují vrchol s jeho protikladem a v daném čtyřúhelníku lze z každého vrcholu nakreslit jednu diagonálu. Celkový počet úhlopříček v čtyřúhelníku je dva.

Quadrilaterals jsou postavy známé lidstvu od starověku. Svědčí o tom archeologické záznamy a stavby, které dnes přežívají.

Podobně i dnes jsou čtyřúhelníky stále důležitou součástí každodenního života každého. Čtenář najde tento formulář na obrazovce, ve které se text právě čte, na oknech, dveřích, automobilových součástech a na nespočetných dalších místech.

Čtyřstranná klasifikace

Podle rovnoběžnosti protilehlých stran jsou čtyřúhelníky klasifikovány takto:

1. Trapézoid, když neexistuje paralelismus a čtyřúhelník je konvexní.
2. Trapézoid, když existuje paralelismus mezi jedním párem protilehlých stran.
3. Parallelogram, když jeho protilehlé strany jsou rovnoběžné dva po dvou.

Obrázek 2. Klasifikace a subklasifikace čtyřúhelníků. Zdroj: Wikimedia Commons.

Druhy rovnoběžníku

Parallogramy lze zase klasifikovat podle jejich úhlů a stran podle následujícího:

1. Obdélník je rovnoběžník, který má čtyři vnitřní úhly stejné míry. Vnitřní úhly obdélníku tvoří pravý úhel (90 °).
2. Čtverec, to je obdélník se čtyřmi stejnými stranami.
3. Rhombus je rovnoběžník se čtyřmi stejnými stranami, ale různými sousedními úhly.
4. Kosočtverec, rovnoběžník s různými sousedními úhly.

Trapéz

Lichoběžník je konvexní čtyřúhelník se dvěma rovnoběžnými stranami.

Obrázek 3. Základny, boky, výška a medián lichoběžníku. Zdroj: Wikimedia Commons.

- V lichoběžníku se rovnoběžné strany nazývají základny a nerovnoběžné strany se nazývají postranní.

- Výška lichoběžníku je vzdálenost mezi dvěma základnami, tj. Délka segmentu s konci na základnách a kolmá na ně. Tento segment se také nazývá výška lichoběžníku.

- Medián je segment, který se připojuje ke středu postranic. Lze ukázat, že střední hodnota je rovnoběžná se základnami lichoběžníku a jeho délka je stejná jako poloměr základen.

- Plocha lichoběžníku je jeho výška vynásobená poločtem základů:

Druhy lichoběžníků

- Obdélníkový lichoběžník: je to ten, jehož strana je kolmá k základnám. Tato strana je také výškou lichoběžníku.

-Vysoké lichoběžníky: ten se stranami stejné délky. V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly sousedící se základnami stejné.

-Scalene trapezium: ten se svými stranami různých délek. Jeho protilehlé úhly mohou být jeden ostrý a druhý tupý, ale může se také stát, že oba jsou tupé nebo oba ostré.

Obrázek 4. Druhy lichoběžníku. Zdroj: F. Zapata.

Rovnoběžník

Paralelogram je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné po dvou. V rovnoběžníku jsou protilehlé úhly stejné a sousední úhly jsou doplňkové, nebo jinými slovy, sousední úhly se rovnají až 180 °.

Pokud má rovnoběžník pravý úhel, budou také všechny ostatní úhly a výsledná hodnota se nazývá obdélník. Pokud má však obdélník také sousední strany stejné délky, pak jsou všechny jeho strany stejné a výsledný obrázek je čtverec.

Obrázek 5. Parallelogramy. Obdélník, čtverec a kosočtverec jsou rovnoběžníky. Zdroj: F. Zapata.

Pokud má rovnoběžník dvě sousední strany stejné délky, všechny jeho strany budou stejné délky a výsledná postava je kosočtverec.

Výška rovnoběžníku je segment s koncem na jeho protilehlých stranách a kolmým na ně.

Oblast rovnoběžníku

Plocha rovnoběžníku je součinem základny a její výšky, přičemž základna je stranou kolmou k výšce (obrázek 6).

Diagonály rovnoběžníku

Čtverec úhlopříčky, který začíná od vrcholu, se rovná součtu čtverců obou stran sousedících s uvedeným vrcholem plus dvojnásobný součet těchto stran kosinem úhlu tohoto vrcholu:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Obrázek 6. Parallelogram. Opačné úhly, výška, úhlopříčky. Zdroj: F. Zapata.

Čtverec úhlopříčky naproti vrcholu rovnoběžníku se rovná součtu čtverců obou stran sousedících s uvedeným vrcholem a odečtením dvojitého součinu těchto stran kosinem úhlu tohoto vrcholu:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Zákon rovnoběžníků

V kterémkoli rovnoběžníku se součet čtverců jeho stran rovná součtu čtverců úhlopříček:

² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

znovu ctángulo

Obdélník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné po dvou a mají také pravý úhel. Jinými slovy, obdélník je typ rovnoběžníku s pravým úhlem. Protože se jedná o rovnoběžník, má obdélník protilehlé strany stejné délky a = ca b = d.

Ale jako v jakémkoli rovnoběžníku jsou sousední úhly doplňkové a protilehlé úhly se rovnají v pravoúhelníku, protože má pravý úhel, bude nutně tvořit pravé úhly v ostatních třech úhlech. Jinými slovy, v pravoúhelníku všechny vnitřní úhly měří 90 ° nebo π / 2 radiány.

Diagonály obdélníku

V obdélníku jsou úhlopříčky stejné délky, jak bude ukázáno níže. Důvod je následující; Obdélník je rovnoběžník se všemi jeho pravými úhly, a proto zdědí všechny vlastnosti rovnoběžníku, včetně vzorce, který udává délku úhlopříček:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

s α = 90 °

Protože Cos (90º) = 0, stává se, že:

f ² = g ² = a ² + d ²

To znamená, f = g, a proto jsou délky f a g dvou úhlopříček obdélníku stejné a jejich délka je dána:

Kromě toho, pokud je v obdélníku se sousedními stranami a a b jedna strana brána jako základna, druhá strana bude výška a následně bude plocha obdélníku:

Plocha obdélníku = sekera b.

Obvod je součet všech stran obdélníku, ale protože protiklady jsou stejné, vyplývá, že pro obdélník se stranami a a b je obvod dán následujícím vzorcem:

Obvod obdélníku = 2 (a + b)

Obrázek 7. Obdélník se stranami a a b. Diagonály fag mají stejnou délku. Zdroj: F. Zapata.

Náměstí

Čtverec je obdélník, jehož sousední strany mají stejnou délku. Pokud má čtverec stranu a, mají jeho úhlopříčky fag stejnou délku, což je f = g = (√2) a.

Plocha čtverce je jeho boční hrana:

Plocha čtverce = a ²

Obvod čtverce je dvakrát stranou:

Obvod čtverce = 4 a

Obrázek 8. Čtverec se stranou a, označující jeho plochu, obvod a délku jeho úhlopříček. Zdroj: F. Zapata..

diamant

Kosočtverec je rovnoběžník s jeho sousedními stranami stejné délky, ale protože v rovnoběžníku jsou protilehlé strany stejné, pak jsou všechny strany kosočtverce stejné délky.

Úhlopříčky kosočtverce mají různou délku, ale protínají se v pravém úhlu.

Obrázek 9. Kosočtverec strany a, označující jeho plochu, obvod a délku jeho úhlopříček. Zdroj: F. Zapata.

Příklady

Příklad 1

Ukažte, že v čtyřúhelníku (nepřekříženém) se vnitřní úhly zvýší až o 360 °.

Obrázek 10: Je ukázáno, jak součet úhlů čtyřúhelníku sčítá až 360 °. Zdroj: F. Zapata.

Uvažuje se o čtyřúhelníku ABCD (viz obrázek 10) a nakreslí se diagonální BD. Jsou vytvořeny dva trojúhelníky ABD a BCD. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku ABD je:

a + pi ₁ + 8 ₁ = 180 °

A součet vnitřních úhlů trojúhelníku BCD je:

p2 + y + 8 ₂ = 180 °

Přidáme dvě rovnice, které dostaneme:

a + P ₁ + 8 ₁ + P ₂ + y + 8 ₂ = 180 ° + 180 °

Seskupení:

a + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180 °

Seskupením a přejmenováním je nakonec prokázáno, že:

a + β + δ + γ = 360 °

Příklad 2

Ukažte, že medián lichoběžníku je rovnoběžný s jeho základnami a jeho délka je poloměrem základen.

Obrázek 11. Medián MN lichoběžníku ABCD. Zdroj: F. Zapata.

Medián lichoběžníku je segment, který spojuje střed svých stran, tj. Neparalelní strany. V lichoběžníku ABCD znázorněném na obrázku 11 je medián MN.

Protože M je střed AD a N je střed BC, poměry AM / AD a BN / BC jsou stejné.

To znamená, že AM je úměrná BN ve stejném poměru jako AD je BC, takže jsou stanoveny podmínky pro použití Thalesovy (reciproční) věty, která uvádí následující:

"Jsou-li proporcionální segmenty určeny ve třech nebo více řádcích oříznutých dvěma sektami, jsou všechny tyto linie rovnoběžné."

V našem případě se vyvozuje závěr, že linie MN, AB a DC jsou vzájemně rovnoběžné, a proto:

"Medián lichoběžníku je rovnoběžný s jeho základnami."

Nyní bude použita Thalesova věta:

"Sada rovnoběžek řezaných dvěma nebo více secanty určuje úměrné segmenty."

V našem případě AD = 2 AM, AC = 2 AO, takže trojúhelník DAC je podobný trojúhelníku MAO, a tedy DC = 2 MO.

Podobný argument nám umožňuje potvrdit, že CAB je podobný CON, kde CA = 2 CO a CB = 2 CN. Z toho okamžitě vyplývá, že AB = 2 ON.

Zkrátka, AB = 2 ON a DC = 2 MO. Takže při přidávání máme:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Nakonec se MN vyčistí:

MN = (AB + DC) / 2

A dochází k závěru, že medián lichoběžníku měří poločet součtů základů, nebo jinými slovy: medián měří součet bází dělený dvěma.

Příklad 3

Ukažte, že v kosočtverci se úhlopříčky protínají v pravém úhlu.

Obrázek 12. Rhombus a demonstrace, že se jeho úhlopříčky protínají v pravém úhlu. Zdroj: F. Zapata.

Tabule na obrázku 12 ukazuje potřebnou konstrukci. Nejprve se nakreslí rovnoběžník ABCD s AB = BC, tj. Kosočtverec. Diagonály AC a DB určují osm úhlů znázorněných na obrázku.

Použitím věty (aip), která říká, že se střídají vnitřní úhly mezi rovnoběžkami řezanými secantem, určujeme stejné úhly, můžeme stanovit následující:

a ₁ = y ₁, a2 = y2, 5 ₁ = pi ₁ a 5 = = P2. (*)

Na druhé straně, protože sousední strany kosočtverce mají stejnou délku, jsou určeny čtyři rovnoramenné trojúhelníky:

DAB, BCD, CDA a ABC

Nyní je vyvolána věta o trojúhelníku (rovnoramenný), která uvádí, že úhly sousedící se základnou jsou stejně velké, z čehož se vyvozuje, že:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, a2 = γ ₁ a α ₁ = γ2 (**)

Pokud jsou vztahy (*) a (**) kombinovány, je dosaženo následující rovnosti úhlů:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ na jedné straně a β ₁ = β2 = δ ₁ = A2 na straně druhé.

Připomínáme teorému rovných trojúhelníků, které říká, že dva trojúhelníky se stejnou stranou mezi dvěma stejnými úhly jsou si rovny, máme:

AOD = AOB a následně také úhly ∡AOD = ∡AOB.

Pak ∡AOD + ∡AOB = 180º, ale protože oba úhly jsou stejné míry, máme 2 ∡AOD = 180º, což znamená, že ∡AOD = 90º.

To znamená, že se geometricky ukazuje, že úhlopříčky kosočtverce se protínají v pravém úhlu.

Cvičení vyřešeno

- Cvičení 1

Ukažte, že v pravém lichoběžníku jsou pravicové úhly doplňkové.

Řešení

Obrázek 13. Pravý lichoběžník. Zdroj: F. Zapata.

Lichoběžník ABCD je konstruován se základnami AB a DC paralelně. Vnitřní úhel vrcholu A je pravý (měří 90 °), takže máme pravý lichoběžník.

Úhly a a 5 jsou vnitřní úhly mezi dvěma rovnoběžkami AB a DC, proto jsou stejné, tj. 8 = α = 90 °.

Na druhé straně se ukázalo, že součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku se rovná 360 °, to je:

a + β + γ + δ = 90 ° + β + 90 ° + δ = 360 °.

Výše uvedené vede k:

β + δ = 180 °

Potvrzuje to, co se má ukázat, že úhly β a δ jsou doplňkové.

- Cvičení 2

Paralelogram ABCD má AB = 2 cm a AD = 1 cm, navíc úhel BAD je 30 °. Určete plochu tohoto rovnoběžníku a délku jeho dvou úhlopříček.

Řešení

Plocha rovnoběžníku je součinem délky základny a její výšky. V tomto případě se jako základ vezme délka segmentu b = AB = 2 cm, druhá strana má délku a = AD = 1 cm a výška h se vypočte takto:

h = AD * Sen (30 °) = 1 cm * (1/2) = 0,5 cm.

Takže: Area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Reference

1. CEA (2003). Geometrické prvky: s cvičeními a kompasovou geometrií. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Objevte mnohoúhelníky. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika 1. semestr Tacaná. IGER.
6. Geometrie jr. (2014). Polygony. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdůvodnění a aplikace (desáté vydání). Pearsonovo vzdělávání.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakční program.
9. Wikipedia. Quadrilaterals. Obnoveno z: es.wikipedia.com