LANO (GEOMETRIE): DÉLKA, VĚTA A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Akord, v rovinné geometrii, je úsečka, která spojuje dva body na křivce. Řádek, který obsahuje tento segment, se říká, že je sečitou čarou do křivky. Toto je často kruh, ale akordy lze určitě nakreslit na mnoha dalších křivkách, jako jsou elipsy a paraboly.

Na obrázku 1 vlevo je křivka, do které patří body A a B. Akord mezi A a B je zelený segment. Vpravo je obvod a jeden z jeho řetězců, protože je možné čerpat nekonečna.

Obrázek 1. Na levé straně akord libovolné křivky a napravo akord kruhu. Zdroj: Wikimedia Commons.

Obvod jeho obvodu je zvláště zajímavý, který je také známý jako hlavní akord. Je to akord, který vždy obsahuje střed obvodu a měří dvakrát poloměr.

Následující obrázek ukazuje poloměr, průměr, akord a také oblouk obvodu. Při řešení problémů je důležitá správná identifikace každého z nich.

Obrázek 2. Prvky obvodu. Zdroj: Wikimedia Commons.

Délka akordu kruhu

Můžeme vypočítat délku akordu v kruhu z obr. 3a a 3b. Všimněte si, že trojúhelník je vždy tvořen dvěma stejnými stranami (rovnoramennými): segmenty OA a OB, které měří R, poloměr obvodu. Třetí stranou trojúhelníku je segment AB, nazývaný C, což je přesně délka akordu.

Je nutné nakreslit čáru kolmou k akordu C k protnutí úhlu 9, který existuje mezi dvěma poloměry a jehož vrchol je středem O obvodu. Toto je středový úhel - protože jeho vrchol je středem - a čára křižovatky je také sekáta k obvodu.

Okamžitě se vytvoří dva pravoúhlé trojúhelníky, jejichž přepážka měří R. Protože křivka a spolu s průměrem dělí akord na dvě stejné části, ukáže se, že jedna z nohou je polovinou C, jak je uvedeno v Obrázek 3b.

Z definice sinusového úhlu:

sin (9/2) = protilehlá noha / přepážka = (C / 2) / R

Tím pádem:

sin (9/2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Obrázek 3. Trojúhelník tvořený dvěma poloměry a akordem obvodu je rovnoramenný (obrázek 3), protože má dvě stejné strany. Dělič dělí to na dva pravé trojúhelníky (obrázek 3b). Zdroj: připravil F. Zapata.

Řetězcová věta

Řetězcová věta vypadá takto:

Následující obrázek ukazuje dva akordy stejného obvodu: AB a CD, které se protínají v bodě P. V akordu AB jsou definovány segmenty AP a PB, zatímco v akordu jsou definovány CD CP a PD. Podle věty:

AP. PB = CP. P.S.

Obrázek 4. Akordová věta kruhu. Zdroj: F. Zapata.

Řešená cvičení strun

- Cvičení 1

Kruh má akord 48 cm, který je 7 cm od středu. Vypočítejte plochu kruhu a obvod obvodu.

Řešení

Pro výpočet plochy kruhu A stačí znát poloměr obvodu na druhou, protože je to pravda:

A = π.R ²

Nyní je obrázek, který je tvořen s poskytnutými údaji, pravý trojúhelník, jehož nohy jsou 7, respektive 24 cm.

Obrázek 5. Geometrie pro řešené cvičení 1. Zdroj: F. Zapata.

Proto, aby se najít hodnotu R ², Pythagorovy věty c ² = a ² + b ² se aplikuje přímo, protože R je přepona trojúhelníku:

R ² = (7 cm), ² + (24 cm), ² = 625 cm ²

Požadovaná oblast je tedy:

A = π. 625 cm ² = 1963.5 cm ²

Pokud jde o obvod nebo délku L obvodu, vypočítá se:

L = 2π. R

Náhradní hodnoty:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Cvičení 2

Určete délku akordu kruhu, jehož rovnice je:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Souřadnice středu tětivy jsou známé jako P (17/2; 7/2).

Řešení

Střed akordu nepatří k obvodu, ale koncové body akordu ano. Tento problém lze vyřešit pomocí dříve uvedené věty o řetězci, ale nejprve je vhodné zapsat rovnici obvodu v kanonickém tvaru, určit jeho poloměr R a jeho střed O.

Krok 1: získejte kanonickou rovnici obvodu

Kanonická rovnice kruhu se středem (h, k) je:

(H x) ² + (yk) ² = R ²

Chcete-li jej získat, musíte vyplnit čtverce:

(x ² - 6 x) + (y ² - 14 let) -111 = 0

Všimněte si, že 6x = 2. (3x) a 14y = 2. (7r), takže předchozí výraz se přepíše takto, zůstane nezměněn:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ²) -111 = 0

A nyní si vzpomeňte na definici pozoruhodného produktu (ab) ² = a ² - 2ab + b ², můžete napsat:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Obvod má střed (3,7) a poloměr R = √169 = 13. Následující obrázek ukazuje graf obvodu a akordy, které budou použity v teorémě:

Obrázek 6. Graf obvodu vyřešeného cvičení 2. Zdroj: F. Zapata pomocí online grafického kalkulátoru Mathway.

Krok 2: určete segmenty, které mají být použity v řetězcové větě

Používané segmenty jsou řetězce CD a AB podle obrázku 6, oba jsou řezány v bodě P, proto:

CP. PD = AP. PB

Nyní najdeme vzdálenost mezi body O a P, protože to nám dá délku segmentu OP. Pokud k této délce přidáme poloměr, budeme mít segment CP.

Vzdálenost d _OP mezi dvěma souřadnými body (x ₁, y ₁) a (x ₂, y ₂) je:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = -170/2

Se všemi získanými výsledky a grafem vytvoříme následující seznam segmentů (viz obrázek 6):

CO = 13 cm = R

OP = -170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + -170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - -170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = délka akordu

Nahrazení v řetězcové větě:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Délka řetězce je 2.AP = 2 (-253 / 2) = -506

Mohl by čtenář problém vyřešit jiným způsobem?

Reference

1. Baldor, A. 2004. Rovinná a kosmická geometrie s trigonometrií. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Délka akordu. Obnoveno z: ck12.org.
3. Escobar, J. Obvod. Obnoveno z: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Obnoveno z: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Lano (Geometry). Obnoveno z: es.wikipedia.org.