KURTÓZA: DEFINICE, TYPY, VZORCE, K ČEMU SLOUŽÍ - DUDAS - 2025

Špičatosti nebo špičatosti je statistický parametr použít pro charakterizaci rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné, udávající míru koncentrace hodnot kolem centrální opatření. To se také nazývá „špičková známka“.

Termín pochází z řeckého „kurtos“, což znamená klenuté, proto kurtóza označuje stupeň směřování nebo zploštění distribuce, jak je vidět na následujícím obrázku:

Obrázek 1. Různé typy kurtózy. Zdroj: F. Zapata.

Téměř všechny hodnoty náhodné proměnné mají tendenci se shlukovat kolem centrální hodnoty, jako je průměr. V některých distribucích jsou však hodnoty rozptýlenější než v jiných, což má za následek plošší nebo tenčí křivky.

Definice

Kurtóza je numerická hodnota typická pro každou distribuci frekvence, která je podle koncentrace hodnot kolem průměru rozdělena do tří skupin:

- Leptokurtic: ve kterém jsou hodnoty velmi seskupeny kolem střední hodnoty, takže rozdělení je zcela špičaté a štíhlé (obrázek 1, vlevo).

- Mesocúrtic: má střední koncentraci hodnot kolem střední hodnoty (obrázek 1 uprostřed).

- Platicúrtica: toto rozdělení má širší tvar, protože hodnoty bývají rozptýlenější (obrázek 1 napravo).

Vzorce a rovnice

Kurtóza může mít jakoukoli hodnotu, bez omezení. Jeho výpočet se provádí v závislosti na způsobu doručení dat. V každém případě se používá zápis:

- Účinek kurtózy: g ₂

-Aritmetický průměr: X nebo x s barem

- V i-té hodnotě: x _i

- standardní odchylka: σ

- Počet dat: N

- Frekvence i-té hodnoty: f _i

-Třída třídy: mx _i

Pomocí této notace uvádíme některé z nejpoužívanějších vzorců k nalezení kurtózy:

- Kurtóza podle prezentace údajů

Data nejsou seskupena ani seskupena podle frekvencí

Data seskupená v intervalech

Nadměrná kurtóza

Také se nazývá Fisherův směrovací koeficient nebo Fisherova míra, používá se k porovnání studované distribuce s normální distribucí.

Když je přebytek kurtózy 0, jsme v přítomnosti normální distribuce nebo gaussovského zvonu. Tímto způsobem, kdykoli se počítá nadměrná kurtóza distribuce, skutečně ji porovnáváme s normální distribucí.

Pro neseskupená i sdružená data je Fisherův polohovací koeficient, označený K,:

K = g ₂ - 3

Nyní lze ukázat, že kurtóza normálního rozdělení je 3, proto pokud Fisherův směrovací koeficient je 0 nebo blízký 0 a existuje mezokrukturní rozdělení. Pokud je K> 0, je distribuce leptokurtická a pokud K <0, je platicúrtická.

Na co je kurtóza?

Kurtóza je míra variability, která se používá k charakterizaci morfologie distribuce. Tímto způsobem lze porovnat symetrické distribuce se stejným průměrem a stejnou disperzí (danou směrodatnou odchylkou).

Měření proměnlivosti zajišťuje, že průměry jsou spolehlivé a pomáhá kontrolovat změny v distribuci. Jako příklad se podívejme na tyto dvě situace.

Platy tří oddělení

Předpokládejme, že následující graf ukazuje rozdělení platů 3 oddělení téže společnosti:

Obrázek 2. Tři distribuce s různými kurtózami ilustrují praktické situace. (Připravil Fanny Zapata)

Křivka A je nejtenčí ze všech a z její podoby lze odvodit, že většina platů tohoto oddělení je velmi blízko průměru, a proto většina zaměstnanců dostává podobnou odměnu.

Na druhé straně v oddělení B sleduje mzdová křivka normální rozdělení, protože je mezocúrtická, ve které předpokládáme, že mzdy byly rozděleny náhodně.

A konečně máme křivku C, která je velmi plochá, což znamená, že v tomto oddělení je rozsah platů mnohem širší než v ostatních.

Výsledky zkoušky

Nyní předpokládejme, že tři křivky na obrázku 2 představují výsledky zkoušky aplikované na tři skupiny studentů stejného předmětu.

Skupina, jejíž hodnocení představuje leptokurtická křivka, je poměrně homogenní, většina získala průměrné nebo blízké hodnocení.

Je také možné, že výsledek byl způsoben tím, že testovací otázky měly víceméně stejný stupeň obtížnosti.

Na druhé straně výsledky skupiny C naznačují větší heterogenitu ve skupině, která pravděpodobně obsahuje průměrné studenty, některé pokročilejší studenty a jistě stejně méně pozorné.

Nebo to může znamenat, že testovací otázky měly velmi odlišné stupně obtížnosti.

Křivka B je mezokutická, což svědčí o tom, že výsledky testu sledovaly normální rozdělení. Toto je obvykle nejčastější případ.

Zpracovaný příklad kurtózy

Najděte Fisherův bodovací koeficient pro následující třídy, získaný ve fyzikální zkoušce, skupině studentů se stupnicí od 1 do 10:

Řešení

Následující výraz bude použit pro neseskupená data uvedená v předchozích oddílech:

K = g ₂ - 3

Tato hodnota umožňuje znát typ distribuce.

Pro výpočet g ₂ je vhodné postupovat postupně, krok za krokem, protože je třeba vyřešit několik aritmetických operací.

Krok 1

Nejprve se vypočítá průměr známek. K dispozici jsou údaje N = 11.

Krok 2

Nalezne se standardní odchylka, pro kterou se používá tato rovnice:

σ = 1,992

Nebo můžete také sestavit tabulku, která je také vyžadována pro další krok a ve kterém je zapsán každý termín sumací, které budou potřebné, počínaje (x _i - X), poté (x _i - X) ² a poté (x _i - X) ⁴:

Krok 3

Provede se součet uvedený v čitateli vzorce pro g ₂. K tomu se používá výsledek pravého sloupce předchozí tabulky:

∑ (_xi - X) ⁴ = 290,15

Tím pádem:

g ₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1,675

Fisherův směrovací koeficient je:

K = g ₂ - 3 = 1,675-3 = -1,325

Zajímavé je znamení výsledku, který, pokud je negativní, odpovídá platicúrtickému rozložení, které lze interpretovat tak, jak bylo učiněno v předchozím příkladu: je to pravděpodobně heterogenní kurz se studenty různého stupně zájmu nebo byly zkouškové otázky různých úrovní obtížnosti.

Použití tabulky, jako je Excel, velmi usnadňuje řešení těchto typů problémů a také nabízí možnost grafického rozdělení.

Reference

1. Levin, R. 1988. Statistiky pro administrátory. 2. Edice. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Obnoveno z: ekonomipedia.com.
3. Oliva, J. Asymetrie a kurtóza. Obnoveno z: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Rozhodování v managementu. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Obnoveno z: en.wikipedia.org.