DERIVÁT COTANGENT: VÝPOČET, DŮKAZ, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Derivát kotangens se rovná naproti čtverci kosekans „-Csc ² “. Tento vzorec se řídí zákony derivátů podle definice a diferenciací trigonometrických funkcí. Označuje se takto:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Kde "du" symbolizuje výraz odvozený od argumentační funkce s ohledem na nezávislou proměnnou.

Zdroj: Pixabay.com

Jak se počítá?

Postup vývoje těchto derivátů je poměrně jednoduchý. Stačí jen správně identifikovat argument a typ funkce, kterou představuje.

Například výraz Ctg (f / g) má ve svém argumentu dělení. To bude vyžadovat rozlišení, pokud jde o U / V, po vyvinutí derivátu cotangentu.

Cotangent je reciproční tangens. Algebraicky to znamená, že:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Je nesprávné tvrdit, že funkce cotangent je „inverzní“ tečny. Důvodem je to, že inverzní tangensová funkce je podle definice arc tangens.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Podle Pythagorovy trigonometrie je cotangent zapojen do následujících sekcí:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Podle analytické trigonometrie reaguje na následující identity:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

CTG (2a) = (1 - tg ² a) / (2TG a)

Charakteristika funkce cotangentu

Je nutné analyzovat různé vlastnosti funkce f (x) = ctg x, aby bylo možné definovat aspekty nezbytné pro studium její odlišnosti a aplikace.

Vertikální asymptoty

Funkce cotangent není definována na hodnotách, které činí výraz „Senx“ nula. Vzhledem ke svému ekvivalentu Ctg x = (cos x) / (sin x) bude mít ve všech „nπ“ neurčitost, přičemž n patří do celých čísel.

To znamená, že v každé z těchto hodnot x = nπ bude vertikální asymptota. Když se přiblížíte zleva, hodnota cotangentu se rychle sníží, a když se přiblížíte zprava, funkce se bude neustále zvyšovat.

Doména

Doména cotangentní funkce je vyjádřena množinou {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Toto se čte jako „x patřící do množiny reálných čísel tak, že x se liší od nπ, přičemž n patří do množiny celých čísel“.

Hodnost

Rozsah funkce cotangent je od mínus po plus nekonečno. Lze tedy dojít k závěru, že jeho hodností je množina reálných čísel R.

Frekvence

Funkce cotangent je periodická a její perioda se rovná π. Tímto způsobem je splněna rovnost Ctg x = Ctg (x + nπ), kde n patří Z.

Chování

Je to lichá funkce, protože Ctg (-x) = - Ctg x. Tímto způsobem je známo, že funkce představuje symetrii vzhledem k počátku souřadnic. Představuje také snížení v každém intervalu mezi 2 po sobě jdoucími vertikálními asymptoty.

Nemá maximální ani minimální hodnoty, protože jeho přiblížení ke svislým asymptotům představuje chování, při kterém se funkce na neurčito zvyšuje nebo snižuje.

Nuly nebo kořeny funkce cotangent se nacházejí v lichých násobcích π / 2. To znamená, že Ctg x = 0 platí pro hodnoty tvaru x = nπ / 2 s n lichým celým číslem.

Demonstrace

Existují 2 způsoby, jak prokázat derivát funkce cotangent.

Trigonometrický diferenciální důkaz

Je prokázána derivace cotangentní funkce z jejího ekvivalentu v sine a cosines.

Je považováno za derivát rozdělení funkcí

Po odvození jsou faktory seskupeny a cílem je napodobit Pythagorovy identity

Nahrazení identity a použití reciprocity, výraz

Důkaz podle definice derivátu

Následující výraz odpovídá derivátu podle definice. Kde se vzdálenost mezi 2 body funkce blíží nule.

Nahrazení za cotangent máme:

Identity se používají pro součet argumentů a vzájemnosti

Část čitatele se tradičně provozuje

Eliminace opačných prvků a přijetí společného faktoru získáme

Musíme použít pythagorovské identity a reciprocitu

Prvky vyhodnocené v x jsou s ohledem na limit konstantní, proto mohou ponechat argument. Poté jsou použity vlastnosti trigonometrických limitů.

Limit je vyhodnocen

Potom se faktoruje, dokud není dosaženo požadované hodnoty

Derivát cotangentu je tedy ukázán jako opak čtverce cosecantu.

Řešená cvičení

Cvičení 1

Na základě funkce f (x) definujte výraz f '(x)

Odpovídající derivace se použije s ohledem na řetězové pravidlo

Odvození argumentu

Někdy je nutné použít reciproční nebo trigonometrické identity k přizpůsobení řešení.

Cvičení 2

Definujte diferenciální výraz odpovídající F (x)

Podle derivačního vzorce a při respektování řetězového pravidla

Argument je odvozen, zatímco zbytek zůstává stejný

Odvození všech prvků

Tradiční výroba produktů ze stejné základny

Přidají se stejné prvky a extrahuje se společný faktor

Známky jsou zjednodušeny a ovládány. Dává cestu k plně odvozenému výrazu

Reference

1. Trigonometrická řada, svazek 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Matematika jedné proměnné. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. listopadu 2008
3. Kalkul s trigonometrií a analytickou geometrií. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
4. Multivariabilní analýza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. prosince. 2010
5. Dynamika systému: Modelování, simulace a řízení mechatronických systémů. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. března 2012
6. Matematika: Matematika a modelování. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. ledna 1999