ALGEBRAICKÉ DERIVÁTY (S PŘÍKLADY) - MATEMATIKA - 2025

V algebraické deriváty se skládají ze studia derivátu v případě algebraických funkcí. Původ pojmu derivát sahá až do starověkého Řecka. Vývoj této koncepce byl motivován potřebou vyřešit dva důležité problémy, jeden ve fyzice a druhý v matematice.

Ve fyzice derivát řeší problém stanovení okamžité rychlosti pohybujícího se objektu. V matematice to umožňuje najít tečnou čáru ke křivce v daném bodě.

Ačkoli existuje opravdu mnoho dalších problémů, které jsou řešeny použitím derivátu, jakož i jeho zobecnění, výsledky, které přišly po zavedení jeho koncepce.

Průkopníky diferenciálního počtu jsou Newton a Leibniz. Předtím, než uvedeme formální definici, budeme rozvíjet myšlenku, která je za ní, z matematického a fyzického hlediska.

Derivace jako sklon tečné čáry ke křivce

Předpokládejme, že graf funkce y = f (x) je spojitý graf (bez vrcholů nebo vrcholů nebo mezer) a nechť A = (a, f (a)) je pevným bodem na něm. Chceme najít rovnici přímky tečné k grafu funkce f v bodě A.

Vezměme jakýkoli další bod P = (x, f (x)) v grafu, blízko bodu A, a nakreslete sečitou čáru, která prochází A a P. Secantová čára je čára, která ořízne graf křivky o jeden nebo více bodů.

Chcete-li získat tečnou čáru, kterou chceme, musíme vypočítat pouze sklon, protože na řádku již máme bod: bod A.

Posuneme-li bod P podél grafu a přiblížíme se blíže k bodu A, dříve zmíněná seřizovací čára se přiblíží k tečné čáře, kterou chceme najít. Když vezmeme limit, když „P inklinuje k A“, obě čáry se budou shodovat, tedy i jejich svahy.

Sklon secant linie je dán

Říkat, že P se blíží A, je ekvivalentní tomu, že „x“ se blíží „a“. Sklon tečné čáry k grafu f v bodě A bude tedy roven:

Výše uvedený výraz je označen f '(a) a je definován jako derivát funkce f v bodě „a“. Vidíme tedy, že analyticky je derivace funkce v bodě limitem, ale geometricky je to sklon tečné čáry k grafu funkce v bodě.

Nyní se podíváme na tuto představu z hlediska fyziky. Dosáhneme stejného vyjádření předchozího limitu, i když jinou cestou, čímž získáme jednomyslnost definice.

Derivace jako okamžitá rychlost pohybujícího se objektu

Podívejme se na krátký příklad toho, co znamená okamžitá rychlost. Když se například říká, že auto k cíli tak učinilo rychlostí 100 km za hodinu, což znamená, že za hodinu ujet 100 km.

To nutně neznamená, že během celé hodiny bylo auto vždy 100 km, a jeho rychloměr mohl v některých okamžicích značit méně nebo více. Pokud jste museli zastavit na semaforu, byla v té době vaše rychlost 0 km. Cesta však byla po hodině 100 km.

Toto je známé jako průměrná rychlost a je dáno podílem ujeté vzdálenosti a uplynulého času, jak jsme právě viděli. Okamžitá rychlost je naopak ta, která v daném okamžiku (čase) označuje jehlu rychloměru automobilu.

Podívejme se na to nyní obecněji. Předpokládejme, že se objekt pohybuje podél čáry a že toto posunutí je reprezentováno rovnicí s = f (t), kde proměnná t měří čas a proměnná s posunem, přičemž se bere v úvahu její začátek v okamžik t = 0, kdy je také nula, tj. f (0) = 0.

Tato funkce f (t) se nazývá polohová funkce.

Hledá se výraz okamžité rychlosti objektu v pevném okamžiku „a“. Při této rychlosti to označíme pomocí V (a).

Nechť t je jakýkoli okamžik blízký okamžitému „a“. V časovém intervalu mezi „a“ a „t“ je změna polohy objektu dána f (t) -f (a).

Průměrná rychlost v tomto časovém intervalu je:

Což je aproximace okamžité rychlosti V (a). Tato aproximace bude lepší, když se t přiblíží k „a“. Tím pádem,

Tento výraz je stejný jako v předchozím případě, ale z jiné perspektivy. Toto je to, co je známé jako derivát funkce f v bodě „a“ a je označeno f '(a), jak je uvedeno výše.

Všimněte si, že při změně h = xa máme, že když "x" má tendenci "a", "h" má tendenci k 0 a předchozí limit se transformuje (ekvivalentně) na:

Oba výrazy jsou rovnocenné, ale někdy je lepší použít jeden místo druhého, podle případu.

Derivace funkce f v kterémkoli bodě "x", který patří do její domény, je poté definována obecnějším způsobem jako

Nejběžnější notace reprezentující derivaci funkce y = f (x) je ta, kterou jsme právě viděli (f 'nebo y'). Dalším široce používaným zápisem je Leibnizův zápis, který je zastoupen jako některý z následujících výrazů:

Protože derivát je v podstatě limit, může nebo nemusí existovat, protože limity vždy neexistují. Pokud existuje, je dotyčná funkce v daném bodě označena za diferencovatelnou.

Algebraická funkce

Algebraická funkce je kombinací polynomů pomocí sčítání, odčítání, produktů, kvocientů, sil a radikálů.

Polynom je výraz formy

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Kde n je přirozené číslo a všechna a _i, s i = 0,1,…, n, jsou racionální čísla a _n ≠ 0. V tomto případě je stupeň tohoto polynomu označován jako n.

Příklady algebraických funkcí jsou následující:

Exponenciální, logaritmické a trigonometrické funkce zde nejsou zahrnuty. Pravidla odvození, která uvidíme dále, platí obecně pro funkce, ale omezíme se a použijeme je v případě algebraických funkcí.

Obejít pravidla

Derivace konstanty

Uvádí, že derivát konstanty je nula. To znamená, že pokud f (x) = c, pak f '(x) = 0. Například derivát konstantní funkce 2 je roven 0.

Derivace síly

Pokud f (x) = x ⁿ, pak f '(x) = nx ^n-1. Například derivát x ³ je 3x ². V důsledku toho získáme, že derivát funkce identity f (x) = x je f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Další příklad je následující: nechť f (x) = 1 / x ², potom f (x) = x ^-2 a f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3.

Tato vlastnost je také platná kořeny, protože kořeny jsou racionální síly a výše uvedené lze také použít v tomto případě. Například derivaci druhé odmocniny je dáno

Derivace sčítání a odčítání

Jestliže f a g jsou diferencovatelné funkce v x, pak součet f + g je také diferencovatelný a je uspokojivé, že (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Podobně máme to (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Jinými slovy, derivát součtu (odčítání) je součtem (nebo odečtením) derivátů.

Příklad

Pokud h (x) = x ² + x-1, pak

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Odvozeno z produktu

Pokud jsou f a g diferencovatelné funkce v x, pak je produkt fg také diferencovatelný v x a to je pravda

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

V důsledku toho z toho vyplývá, že pokud c je konstanta af je diferencovatelná funkce v x, pak je cf také diferencovatelná v x a (cf) '(x) = cf' (X).

Příklad

Pokud f (x) = 3x (x ² +1), pak

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Derivát kvocientu

Pokud jsou f a g diferencovatelné na x a g (x) ≠ 0, pak f / g je také diferencovatelné na x a je pravda, že

Příklad: pokud h (x) = x ³ / (x ² -5x), pak

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ².

Řetězové pravidlo

Toto pravidlo umožňuje odvodit složení funkcí. Uveďte následující: pokud y = f (u) je diferencovatelný v u, yu = g (x) je diferencovatelný v x, pak složená funkce f (g (x)) je diferencovatelná v x, a je pravda, že '= f '(g (x)) g' (x).

To znamená, že derivát složené funkce je produkt derivátu externí funkce (externí derivát) a derivátu vnitřní funkce (interní derivát).

Příklad

Pokud f (x) = (x ⁴ -2x) ³, pak

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Tam jsou také výsledky pro výpočet derivátu inverze funkce, stejně jako generalizace k derivátům vyššího řádu. Aplikace jsou rozsáhlé. Mezi nimi vyniká její užitečnost v optimalizačních problémech a maximální a minimální funkce.

Reference

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferenciální počet. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Výpočet 4000. Redakční progres.
3. Castaño, HF (2005). Matematika před výpočtem. University of Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Úvod do počtu. Threshold Editions.
5. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Výpočet. Pearsonovo vzdělávání.
7. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet (druhé vydání). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, a Weir, MD (2006). Výpočet: několik proměnných. Pearsonovo vzdělávání.