- Jak jsou řešeny implicitní deriváty?
- Řetězové pravidlo
- Provozní řád
- Implicitní
- Dějiny
- Aplikace
- Řešená cvičení
- Cvičení 1
- Cvičení 2
- Reference
Tyto implicitní deriváty jsou nástroje používané v diferencováním metoda použitá k funkcím. Použijí se, pokud není možné pomocí běžných metod vyřešit závislou proměnnou, která má být odvozena. Tato vůle se provádí jako funkce nezávislé proměnné.
Například ve výrazu 3xy 3 - 2y + xy 2 = xy nelze získat výraz, který definuje „y“ jako funkci „x“. Takže odvozením diferenciální exprese lze získat dy / dx.
Jak jsou řešeny implicitní deriváty?
Abychom vyřešili implicitní derivaci, začneme implicitním výrazem. Například: 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0. To již bylo vyřešeno správně, avšak není to nutná podmínka pro získání derivátu y vzhledem k x. Poté je každý z prvků odvozen s ohledem na řetězové pravidlo pro smíšené funkce:
3xy 3 se skládá ze 2 proměnných, proto se s d (3xy 3) bude zacházet jako s derivátem funkcí.
d (3xy 3) / dx = 3y 3 + 3y 2. (3x) y '= 3y 3 + 9xy 2 y'
Kde je prvek y 'známý jako „y prvočíslo“ a představuje dy / dx
-2y Je odvozeno podle zákona KU = K.U '
d (-2y) = -2 y '
xy 2 předpokládá další diferenciál složený z produktu funkcí
d (xy 2) = y 2 + 2xy y '
-xyskupina je ošetřena homologně
d (-xy) = -y - x y '
Jsou nahrazeny rovností, protože vědí, že derivát nula je nula.
3y 3 + 9xy 2 y '- 2 y' + y 2 + 2xy y '- y - x y' = 0
Prvky, které mají výraz y ', jsou seskupeny na jedné straně rovnosti
3y 3 + y 2 - y = -9xy 2 y '+ 2 y' + x y '
Společný faktor y 'je extrahován z pravé strany rovnosti
3y 3 + y 2 - y = y '(-9xy 2 + x + 2)
Nakonec je zrušen termín, který znásobuje y '. Takto se získá výraz odpovídající implicitnímu derivátu y vzhledem k x.
y '= dy / dx = (3y 3 + y 2 - y) / (- 9xy 2 + x + 2)
Řetězové pravidlo
V implicitní derivaci je řetězové pravidlo vždy respektováno. Všechny diferenciální výrazy budou uvedeny jako funkce nezávislé proměnné X. Takže každá proměnná 9, jiná než X, musí po odvození obsahovat termín dθ / dx.
Tento termín se objeví pouze v prvním stupni nebo s exponentem rovným 1. Tato kvalita je zcela jasná u tradičních faktoringových metod. Je tedy možné získat výraz, který definuje diferenciální dθ / dx.
Řetězové pravidlo ukazuje progresivní povahu procesu diferenciace nebo derivace. Kde pro každou složenou funkci f máme diferenciální vyjádření f
Provozní řád
V každém použitém vzorci nebo zákonu o derivaci musí být zohledněno pořadí proměnných. Kritéria spojená s nezávislou proměnnou jsou respektována, aniž by se měnila její korelace se závislou proměnnou.
Vztah závislé proměnné v době odvození se bere přímo; S výjimkou toho, že to bude považováno za druhou funkci, a proto se pro smíšené funkce použije kritérium řetězce.
To lze vyvinout ve výrazech s více než 2 proměnnými. Podle stejných principů budou označeny všechny diferenciály odkazující na závislé proměnné.
Graficky je zpracováno stejné kritérium, které definuje derivát. Zatímco derivát je sklon tečné čáry k křivce v rovině, zbytek diferenciálů náležejících závislým proměnným (dy / dx, dz / dx) představuje roviny tečné k vektorovým tělům popsaným více proměnnými funkcemi.
Implicitní
Funkce se říká, že přesně definovaná v případě, že výraz y = f (x) je možno vyjádřit jako funkci vícenásobné proměnné F (x, y) = 0, jak dlouho, jak je F je definováno v R 2 rovině.
3xy 3 - 2y + xy 2 = xy lze napsat ve tvaru 3xy 3 - 2y + xy 2 - xy = 0
Vzhledem k nemožnosti učinit funkci y = f (x) explicitní.
Dějiny
Kolem sedmnáctého století začaly diferenciální počet pojmenovávat různí matematičtí vědci. Poprvé to bylo zmíněno prostřednictvím příspěvků Newtona a Leibnize. Oba zpracovali diferenciální počet z různých hledisek, ale ve svých výsledcích konvergovali.
Zatímco Newton se zaměřil na diferenciaci jako rychlost nebo rychlost změny, Leibnizův přístup byl geometričtější. Dá se říci, že Newton napadl dohady, které zanechal Apollonius z Perge a Leibniz geometrické myšlenky Fermata.
Implicitní derivace se objeví okamžitě, když vezmeme v úvahu diferenciální a integrální rovnice. Tyto rozšířené geometrickou koncepci Leibniz až R 3, a dokonce i na vícerozměrných prostorech.
Aplikace
Implicitní deriváty se používají v různých situacích. Jsou běžné v problémech směnných kurzů mezi souvisejícími proměnnými, kde v závislosti na smyslu studie budou proměnné považovány za závislé nebo nezávislé.
Mají také zajímavé geometrické aplikace, například při odrazech nebo problémech se stíny, na postavách, jejichž tvar lze matematicky modelovat.
Často se používají v oblastech ekonomiky a strojírenství, jakož i při různých výzkumech přírodních jevů a experimentálních budov.
Řešená cvičení
Cvičení 1
Definujte implicitní výraz, který definuje dy / dx
Každý prvek výrazu je diferencovaný
Stanovení pravidla řetězu v každém příslušném případě
Seskupení prvků, které mají dy / dx, na jedné straně rovnosti
Je faktorován pomocí společného faktoru
Je vyřešeno získání hledaného výrazu
Cvičení 2
Definujte implicitní výraz, který definuje dy / dx
Vyjádření derivátů, které mají být provedeny
Implicitní odvození podle řetězového pravidla
Faktoring společných prvků
Seskupení termínu dy / dx na jedné straně rovnosti
Společný faktor diferenciálního prvku
Izolujeme a získáme hledanou expresi
Reference
- Matematika jedné proměnné. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. listopadu 2008
- Implicitní věta o funkci: historie, teorie a aplikace. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. listopadu. 2012
- Multivariabilní analýza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. prosince. 2010
- Dynamika systému: Modelování, simulace a řízení mechatronických systémů. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. března 2012
- Matematika: Matematika a modelování. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. ledna 1999