POSTUPNÉ DERIVÁTY (S VYŘEŠENÝMI CVIKY) - MATEMATIKA - 2025

Tyto po sobě následující deriváty jsou odvozeny z jedné funkce po druhé derivace. Proces výpočtu následných derivátů je následující: máme funkci f, kterou můžeme odvodit, a získat tak derivační funkci f '. Tuto derivaci f můžeme znovu odvodit a získat (f ')'.

Tato nová funkce se nazývá druhá derivace; všechny deriváty počítané od druhé jsou postupné; Tyto, také nazývané vyšší řád, mají skvělé aplikace, jako je poskytování informací o grafu funkce, test druhého derivátu na relativní extrémy a stanovení nekonečných řad.

Definice

Pomocí Leibnizovy notace máme, že derivát funkce „y“ vzhledem k „x“ je dy / dx. Abychom vyjádřili druhou derivaci „y“ pomocí Leibnizovy notace, píšeme takto:

Obecně můžeme následnými deriváty vyjádřit Leibnizovým zápisem, kde n představuje pořadí derivátu.

Další použité notace jsou následující:

Některé příklady, kde můžeme vidět různé zápisy, jsou:

Příklad 1

Získejte všechny deriváty funkce f definované:

Použitím obvyklých derivačních technik máme derivát f:

Opakováním procesu získáme druhý derivát, třetí derivát atd.

Všimněte si, že čtvrtý derivát je nula a derivát nula je nula, takže máme:

Příklad 2

Vypočítejte čtvrtý derivát následující funkce:

Odvození dané funkce máme jako výsledek:

Rychlost a zrychlení

Jednou z motivací, které vedly k objevu derivátu, bylo hledání definice okamžité rychlosti. Formální definice je následující:

Nechť y = f (t) je funkce, jejíž graf popisuje trajektorii částice v čase t, její rychlost v čase t je dána:

Jakmile je získána rychlost částice, můžeme vypočítat okamžité zrychlení, které je definováno takto:

Okamžité zrychlení částice, jejíž dráha je dána y = f (t), je:

Příklad 1

Částice se pohybuje podél linie podle funkce polohy:

Kde "y" se měří v metrech a "t" v sekundách.

- V jakém okamžiku je jeho rychlost 0?

- V jakém okamžiku je jeho zrychlení 0?

Při odvozování polohové funkce «a» máme, že její rychlost a zrychlení jsou dány:

Aby bylo možné odpovědět na první otázku, stačí určit, kdy se funkce v stane nulou; tohle je:

Analogickým způsobem přistupujeme k následující otázce:

Příklad 2

Částice se pohybuje podél linie podle následující pohybové rovnice:

Určete "t, y" a "v", když a = 0.

S vědomím, že rychlost a zrychlení jsou dány

Postupujeme k odvození a získání:

Při a = 0 máme:

Z čeho můžeme odvodit, že hodnota t pro a, která se rovná nule, je t = 1.

Vyhodnocením polohové funkce a funkce rychlosti v t = 1 máme:

Aplikace

Explicitní odvození

Následné deriváty lze také získat implicitní derivací.

Příklad

S ohledem na následující elipsu najděte písmeno „y“:

Implicitně odvozujeme s ohledem na x, máme:

Pak implicitně re-odvozující s ohledem na x nám dává:

Nakonec máme:

Relativní extrémy

Další použití, které můžeme dát derivátům druhého řádu, je při výpočtu relativních extrémů funkce.

Kritérium prvního derivátu pro lokální extrémy nám říká, že pokud máme spojitou funkci f na intervalu (a, b) a existuje c, které patří do uvedeného intervalu tak, že f 'zmizí v c (to znamená, že c je kritický bod), může nastat jeden ze tří případů:

- Jestliže f´ (x)> 0 pro jakékoli x patřící do (a, c) a f´ (x) <0 pro x patřící do (c, b), pak f (c) je lokální maximum.

- Pokud f´ (x) <0 pro jakékoli x patřící do (a, c) a f´ (x)> 0 pro x patřící do (c, b), pak f (c) je lokální minimum.

- Pokud má f´ (x) stejné znaménko v (a, c) a v (c, b), znamená to, že f (c) není lokálním extrémem.

Na základě kritéria druhé derivace můžeme vědět, zda kritické číslo funkce je lokální maximum nebo minimum, aniž bychom museli vidět, jaké znaménko funkce je ve výše uvedených intervalech.

Kritérium druhého driftu nám říká, že pokud f´ (c) = 0 a že f´´ (x) jsou spojité v (a, b), stane se, že pokud f´´ (c)> 0, pak f (c) je lokální minimum a pokud f´´ (c) <0, pak f (c) je lokální maximum.

Pokud f´´ (c) = 0, nemůžeme nic vyvozovat.

Příklad

Při použití funkce f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² najděte relativní maxima a minima f pomocí kritéria druhého derivátu.

Nejprve vypočítáme f´ (x) a f´´ (x) a máme:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Nyní, f´ (x) = 0, pokud, a pouze pokud 4x (x + 2) (x - 1) = 0, a to se stane, když x = 0, x = 1 nebo x = - 2.

K určení, zda získaná kritická čísla jsou relativní extrémy, stačí vyhodnotit f 'a tedy sledovat jeho znaménko.

f´´ (0) = - 8, takže f (0) je lokální maximum.

f´´ (1) = 12, takže f (1) je lokální minimum.

f´´ (- 2) = 24, takže f (- 2) je lokální minimum.

Taylorova řada

Nechť f je funkce definovaná takto:

Tato funkce má poloměr konvergence R> 0 a má derivace všech řádů v (-R, R). Následné deriváty f:

Když x = 0, můžeme získat hodnoty c _n jako funkci jejich derivátů takto:

Pokud vezmeme an = 0 jako funkci f (tj. F ^ 0 = f), můžeme funkci přepsat takto:

Nyní uvažujme funkci jako řadu sil na x = a:

Pokud provedeme analogickou analýzu jako ta předchozí, budeme mít, že můžeme funkci f napsat jako:

Tyto série jsou známé jako Taylorova řada od f po a. Když a = 0, máme konkrétní případ nazvaný Maclaurinová řada. Tento typ řady má velký matematický význam zejména v numerické analýze, protože díky nim můžeme definovat funkce v počítačích jako e ^x, sin (x) a cos (x).

Příklad

Získejte řadu Maclaurin pro e ^x.

Všimněte si, že pokud f (x) = e ^x, pak f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x af ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, tak jeho Maclaurinová řada je:

Reference

1. Frank Ayres, J. a Mendelson, E. (nd). Výpočet 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometrií. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Výpočet. Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciální počet. Přepona.
5. Saenz, J. (nd). Integrální počet. Přepona.