Přísada rozklad na kladné celé číslo se skládá z vyjádřením jako součet dvou nebo více kladných celých čísel. Máme tedy, že číslo 5 lze vyjádřit jako 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 nebo 5 = 1 + 2 + 2. Každý z těchto způsobů psaní čísla 5 je to, čemu říkáme aditivní rozklad.

Pokud věnujeme pozornost, můžeme vidět, že výrazy 5 = 2 + 3 a 5 = 3 + 2 představují stejné složení; oba mají stejná čísla. Avšak jen pro větší přehlednost je každý doplněk psán obvykle podle kritéria od nejnižší po nejvyšší.

Aditivní rozklad

Jako další příklad můžeme vzít číslo 27, které můžeme vyjádřit jako:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Aditivní rozklad je velmi užitečný nástroj, který nám umožňuje posílit naši znalost číslovacích systémů.

Kanonický aditivní rozklad

Pokud máme čísla s více než dvěma číslicemi, je konkrétní způsob, jak je rozložit, v násobcích 10, 100, 1000, 10 000 atd., Které jej tvoří. Tento způsob psaní libovolného čísla se nazývá kanonický aditivní rozklad. Například číslo 1456 lze rozložit takto:

1456 = 1 000 + 400+ 50 + 6

Pokud máme číslo 20 846 295, bude jeho kanonickým aditivním rozkladem:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Díky tomuto rozkladu můžeme vidět, že hodnota dané číslice je dána pozicí, kterou zaujímá. Vezměme si jako příklad čísla 24 a 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Zde vidíme, že v 24 má 2 hodnotu 20 jednotek a 4 hodnotu 4 jednotek; na druhé straně, v 42 má 4 hodnotu 40 jednotek a 2 ze dvou jednotek. Ačkoli tedy obě čísla používají stejné číslice, jejich hodnoty jsou zcela odlišné kvůli poloze, kterou zaujímají.

Aplikace

Jednou z aplikací, které můžeme dát aditivnímu rozkladu, je u určitých typů důkazů, ve kterých je velmi užitečné vidět kladné celé číslo jako součet ostatních.

Příklad věty

Vezměme si jako příklad následující větu s příslušnými důkazy.

- Nechť Z je 4místné celé číslo, pak je Z dělitelné 5, pokud jeho odpovídající číslo jednotkám je nula nebo pět.

Demonstrace

Připomeňme si, co je dělitelnost. Pokud máme celá čísla "a" a "b", říkáme, že "a" rozdělí "b", pokud existuje celé číslo "c", takže b = a * c.

Jedna z vlastností dělitelnosti nám říká, že pokud jsou „a“ a „b“ dělitelné „c“, pak je i dělitelný „ab“ dělitelný.

Nechť Z je 4místné celé číslo; proto můžeme psát Z jako Z = ABCD.

Pomocí kanonického aditivního rozkladu máme:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Je zřejmé, že A * 1000 + B * 100 + C * 10 je dělitelné 5, proto je Z dělitelné 5, pokud Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) je dělitelné 5.

Ale Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D a D je jednociferné číslo, takže jediný způsob, jak být dělitelný 5, je, že bude 0 nebo 5.

Z je tedy dělitelná 5, pokud D = 0 nebo D = 5.

Všimněte si, že pokud Z má n číslic, důkaz je přesně stejný, změní se pouze to, že nyní píšeme Z = A ₁ A ₂… A _n a cílem by bylo prokázat, že A _n je nula nebo pět.

Příčky

Říkáme, že oddíl kladného celého čísla je jedním ze způsobů, jak můžeme napsat číslo jako součet kladných celých čísel.

Rozdíl mezi aditivním rozkladem a oddílem je ten, že zatímco první usiluje o to, aby alespoň mohl být rozložen na dva nebo více přídavků, oddíl nemá toto omezení.

Máme tedy následující:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Výše uvedené jsou oddíly po 5.

To znamená, že každý aditivní rozklad je oddíl, ale ne každý oddíl je nutně aditivní rozklad.

V teorii čísel základní věta aritmetiky zaručuje, že každé celé číslo může být jedinečně napsáno jako produkt prvočísel.

Při studiu oddílů je cílem zjistit, kolik způsobů může být celé číslo zapsáno jako součet jiných celých čísel. Proto definujeme funkci oddílu tak, jak je uvedeno níže.

Definice

Rozdělovací funkce p (n) je definována jako počet způsobů, jak lze celé kladné celé číslo n zapsat jako součet kladných celých čísel.

Vrátíme-li se k příkladu 5, máme následující:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Tedy p (5) = 7.

Grafika

Oddíly i aditivní dekompozice čísla n lze znázornit geometricky. Předpokládejme, že máme aditivní rozklad n. V tomto rozkladu mohou být doplňky uspořádány tak, že členové částky jsou řazeni od nejnižší k největší. Dobře:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r s

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

Tento rozklad můžeme graficky znázornit následujícím způsobem: v prvním řádku označíme _1- body, poté v dalším označíme _2- body atd., Dokud nedosáhneme _r.

Vezměme například číslo 23 a jeho následující rozklad:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Tento rozklad objednáváme a máme:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Jeho odpovídající graf by byl: