TROJÚHELNÍKOVÁ NEROVNOST: DŮKAZ, PŘÍKLADY, ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Říká se tomu nerovnoměrná vlastnost trojúhelníku, která splňuje dvě reálná čísla skládající se z absolutní hodnoty jejich součtu, je vždy menší nebo rovná součtu jejich absolutních hodnot. Tato vlastnost je známá také jako Minkowského nerovnost nebo trojúhelníková nerovnost.

Tato vlastnost čísel se nazývá trojúhelníková nerovnost, protože v trojúhelnících se stává, že délka jedné strany je vždy menší nebo rovna součtu dalších dvou, i když tato nerovnost neplatí vždy v oblasti trojúhelníků.

Obrázek 1. Absolutní hodnota součtu dvou čísel je vždy menší nebo rovná součtu jejich absolutních hodnot. (Připravil R. Pérez)

Existuje několik důkazů o trojúhelníkové nerovnosti v reálných číslech, ale v tomto případě si vybereme jeden na základě vlastností absolutní hodnoty a binomického čtverce.

Věta: Pro každou dvojici čísel aab patřících ke skutečným číslům máme:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstrace

Začneme tím, že vezmeme v úvahu prvního člena nerovnosti, který bude na druhou:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (rovnice 1)

V předchozím kroku jsme použili vlastnost, že libovolné číslo na druhou se rovná absolutní hodnotě uvedeného čísla na druhou, to je: -x- ^ 2 = x ^ 2. Rovněž bylo použito čtvercové binomické rozšíření.

Každé číslo x je menší nebo rovno absolutní hodnotě. Pokud je číslo kladné, je stejné, ale pokud je záporné, bude vždy nižší než kladné číslo. V tomto případě jeho vlastní absolutní hodnota, to znamená, že lze říci, že x ≤ - x -.

Produkt (ab) je číslo, proto platí, že (ab) ≤ - ab -. Když je tato vlastnost použita (rovnice 1), máme:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (rov. 2)

Vzhledem k tomu, že - ab - = - a - b - la (rovnice 2) lze napsat následovně:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (rovnice 3)

Ale protože jsme již dříve řekli, že čtverec čísla se rovná absolutní hodnotě čísla na druhou, lze rovnici 3 přepsat takto:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (rovnice 4)

Ve druhém členu nerovnosti je rozpoznán pozoruhodný produkt, který při použití vede k:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (rov. 5)

V předchozím výrazu je třeba poznamenat, že hodnoty, které se mají umocnit u obou členů nerovnosti, jsou pozitivní, a proto je třeba se také ujistit, že:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (rovnice 6)

Předchozí výraz je přesně to, co jste chtěli demonstrovat.

Příklady

Dále zkontrolujeme trojúhelníkovou nerovnost pomocí několika příkladů.

Příklad 1

Bereme hodnotu a = 2 a hodnotu b = 5, tj. Obě kladná čísla a zkontrolujeme, zda je nerovnost uspokojena nebo ne.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Rovnost je ověřena, proto byla splněna věta o nerovnosti trojúhelníku.

Příklad 2

Jsou vybrány následující hodnoty a = 2 a b = -5, tj. Kladné číslo a další záporné, zkontrolujeme, zda je nerovnost uspokojena.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Nerovnost je uspokojena, a proto byla ověřena věta o trojúhelníkové nerovnosti.

Příklad 3

Bereme hodnotu a = -2 a hodnotu b = 5, tj. Záporné číslo a další kladné, zkontrolujeme, zda je nerovnost uspokojena.

- -2 + 5 - ≤ -2-2 + -5-

- 3 - ≤ -2-2 + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nerovnost je ověřena, proto byla věta splněna.

Příklad 4

Vyberou se následující hodnoty a = -2 a b = -5, tj. Jak záporná čísla, tak zkontrolujeme, zda je nerovnost uspokojena.

- -2 - 5 - ≤ -2-2 +5-

- -7 - ≤ -2-2 +5-

7 ≤ 2+ 5

Rovnost je ověřena, proto byla splněna Minkowského věta o nerovnosti.

Příklad 5

Bereme hodnotu a = 0 a hodnotu b = 5, tj. Nulu a druhou kladnou hodnotu, pak zkontrolujeme, zda je nerovnost uspokojena nebo ne.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Rovnost je splněna, proto byla ověřena věta o nerovnosti trojúhelníku.

Příklad 6

Vezmeme hodnotu a = 0 a hodnotu b = -7, tj. Nulu a druhou kladnou, pak zkontrolujeme, zda je nerovnost uspokojena nebo ne.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Rovnost je ověřena, proto byla splněna trojúhelníková věta o nerovnosti.

Řešená cvičení

V následujících cvičeních geometricky znázorněte nerovnost trojúhelníku nebo Minkowského nerovnost pro čísla aab.

Číslo a bude reprezentováno jako segment na ose X, jeho počátek O se časově shoduje s nulou osy X a druhý konec segmentu (v bodě P) bude v kladném směru (napravo) osy X, pokud > 0, ale pokud <0, bude to směrem k zápornému směru osy X, kolik jednotek udává absolutní hodnota.

Podobně bude číslo b reprezentováno jako segment, jehož počátek je v bodě P. Další extrém, tj. Bod Q, bude vpravo od P, pokud b je kladné (b> 0) a bod Q bude -b - jednotky nalevo od P, pokud b <0.

Cvičení 1

Graf nerovnosti trojúhelníku pro a = 5 a b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Cvičení 2

Graf trojúhelníkové nerovnosti pro a = 5 ab = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Cvičení 3

Graficky znázorněte nerovnost trojúhelníku pro a = -5 ab = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Cvičení 4

Graficky vytvořte trojúhelníkovou nerovnost pro a = -5 ab = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kde c = a + b.

Reference

1. E. Whitesitt. (1980), Boolean Algebra a její aplikace. Redakční společnost Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Prvky abstraktní analýzy.. Katedra matematiky. Univerzitní vysoká škola Dublin, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006) Matematika a inženýrství v informatice. Ústav pro počítačové vědy a technologie. Národní úřad pro standardy. Washington, DC 20234
4. Eric Lehman. Matematika pro informatiku. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Počet. Katedra matematiky a informatiky a laboratoře AI, Massachussetts Institute of Technology.
6. Khan Academy. Věta o nerovnosti trojúhelníku. Obnoveno z: khanacademy.org
7. Wikipedia. Trojúhelníková nerovnost. Obnoveno od: es. wikipedia.com