PRŮMĚR: SYMBOLY A VZORCE, JAK TO ZÍSKAT, OBVOD - MATEMATIKA - 2025

Průměr je přímka, která prochází středem uzavřené ploché křivce, nebo hodnoty ve dvou nebo třech rozměrech, a že také připojí své protilehlé body. Je to obvykle kruh (plochá křivka), kruh (plochý obrázek), koule nebo pravý kruhový válec (trojrozměrné objekty).

Ačkoli obvod a kruh jsou obvykle vzaty jako synonyma, tam je rozdíl mezi dvěma termíny. Obvod je uzavřená křivka obklopující kružnici, která splňuje podmínku, že vzdálenost mezi kterýmkoli z jejích bodů a středem je stejná. Tato vzdálenost není žádná jiná než poloměr obvodu. Místo toho, kruh je plochá postava ohraničená obvodem.

Obrázek 1. Průměr kol kola je důležitým prvkem při jejich konstrukci. Zdroj: Pixabay.

V případě obvodu, kružnice a koule je průměrem přímý segment, který obsahuje alespoň tři body: střed plus dva body okraje obvodu nebo kružnice nebo povrch koule.

A co se týče pravého kruhového válce, průměr se týká průřezu, který spolu s výškou jsou jeho dva charakteristické parametry.

Průměr obvodu a kružnice, symbolizovaný ø nebo jednoduše písmenem „D“ nebo „d“, souvisí s jeho obvodem, obrysem nebo délkou, která je označena písmenem L:

L = π.D = π. nebo

Kdykoli existuje obvod, kvocient mezi jeho délkou a průměrem je iracionální číslo π = 3,14159…, tímto způsobem:

π = L / D

Jak získat průměr?

Když máte kresbu obvodu nebo kruhu nebo přímo kruhového objektu, jako je například mince nebo prsten, je velmi snadné najít průměr pomocí pravítka. Musíte se jen ujistit, že okraj pravítka se dotýká současně dvou bodů na obvodu a jeho středu.

Třmen, vernier nebo třmen je velmi vhodný pro měření vnějších a vnitřních průměrů na mincích, obručí, prstenech, ořechech, trubkách a dalších.

Obrázek 2. Digitální vernier měřící průměr mince. Zdroj: Pixabay.

Pokud místo objektu nebo jeho výkresu máme data, jako je poloměr R, pak vynásobením 2 máme průměr. A je-li známá délka nebo obvod obvodu, lze také zjistit průměr zúčtováním:

Dalším způsobem, jak zjistit průměr, je znalost oblasti kruhu, kulové plochy, průřezu válce, zakřivené oblasti válce nebo objemů koule nebo válce. Vše záleží na tom, jaká geometrická postava to je. Průměr se například týká následujících oblastí a objemů:

-Area kruhu: π. (D / 2) ²

-Area sférického povrchu: 4π. (D / 2) ²

-Objem koule: (4/3) π. (D / 2) ³

-Výkon sféry pravý kruhový válec: π. (D / 2) ^2. H (H je výška válce)

Čísla s konstantní šířkou

Kruh je plochý obrázek s konstantní šířkou, protože kdekoli se na něj díváte, je šířkou průměr D. Existují však i jiné možná méně známé postavy, jejichž šířka je také konstantní.

Nejprve se podívejme, co se rozumí šířkou obrázku: je to vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami - podpůrnými liniemi -, které jsou zase kolmé k danému směru a které vězňují postavu, jak je znázorněno na obrázku vlevo:

Obrázek 3. Šířka libovolného plochého obrázku (vlevo) a Reuleauxova trojúhelníku, obrázek s konstantní šířkou (vpravo). Zdroj: F. Zapata.

Napravo je trojúhelník Reuleaux, který je postavou konstantní šířky a splňuje podmínku uvedenou v levém obrázku. Pokud je šířka obrázku D, jeho obvod je dán Barbierovou větou:

L = π.D

Kanalizace města San Francisco v Kalifornii má tvar Reuleauxova trojúhelníku, pojmenovaného pro německého inženýra Franze Reuleauxa (1829 - 1905). Tímto způsobem víčka nemohou propadnout otvorem a k jejich výrobě se používá méně materiálu, protože jejich plocha je menší než plocha kruhu:

A = (1- √3).πD ² = 0.705.D ²

Zatímco pro kruh:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4), D ² = 0,785. D ²

Tento trojúhelník však není jediným číslem konstantní šířky. Můžete si vytvořit takzvané Reuleauxské polygony s dalšími polygony, které mají lichý počet stran.

Průměr obvodu

Na následujícím obrázku jsou prvky kruhu definovány následovně:

Chord: úsečka, která spojuje dva body po obvodu. Na obrázku je akord, který spojuje body C a D, ale mohou být nakresleny nekonečné akordy, které spojují jakoukoli dvojici bodů na obvodu.

Průměr: je to akord, který prochází středem a spojuje dva body obvodu se středem O. Je to nejdelší akord obvodu, proto se nazývá „akord hlavního“.

Poloměr: úsečka, která spojuje střed s libovolným bodem na obvodu. Jeho hodnota, stejně jako průměr, je konstantní.

Obvod: je množina všech bodů vzdálených od O.

Arc: je definován jako obvodový úsek ohraničený dvěma poloměry (na obrázku není nakreslen).

Obrázek 4. Části obvodu, včetně průměru, který prochází středem. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Příklad 1

Zobrazený obdélník je vysoký 10 palců, který při válcování tvoří pravý kruhový válec, jehož průměr je 5 palců. Odpovězte na následující otázky:

Obrázek 5. Válcovaný obdélník se stává pravým kruhovým válcem. Zdroj: Jiménez, R. Mathematics II. Geometrie a trigonometrie. 2. Edice. Pearson.

a) Jaký je obrys trubky?

b) Najděte oblast obdélníku

c) Najděte plochu průřezu válce.

Řešení

Obrys trubky je L = π.D = 5π in = 15,71 in.

B. Řešení

Plocha obdélníku je základna x výška, základna L je již vypočtena a výška je 10 palců podle příkazu, proto:

A = 15,71 v x 10 in = 157,1 v ².

Řešení c

Nakonec se požadovaná plocha vypočítá takto:

A = π. (D / 2) ² = (π / 4), D ² = (π / 4) x (5 in.) ² = do oblasti 19,63. ².

- Příklad 2

Vypočítejte stínovanou oblast na obrázku 5a. Náměstí má stranu L.

Obrázek 6. Najděte stínovanou oblast na levém obrázku. Jiménez, R. Matematika II. Geometrie a trigonometrie. 2. Edice. Pearson.

Řešení

Na obrázku 5b byly nakresleny dva půlkruhy stejné velikosti v růžové a modré barvě, překrývající se s původní postavou. Mezi nimi tvoří kompletní kruh. Pokud najdete oblast čtverce a odečtete plochu kruhu, vytvořte stínovanou oblast na obrázku 5b. A pozorně se ukazuje, že je to polovina ze stínované oblasti v 5a.

-Čtyřhranná plocha: L ²

-průměr půlkruhu: L

-Area kruhu:. Π (L / 2) ² = (π / 4), L ²

-Difference ploch = polovina z stínované plochy =

L ² - (π / 4), L ² = L ² = 0,2146 L ²

-Shaded plocha = 2 x 0,2146 L ² = 0.4292L2

Kolik průměrů má obvod?

Můžete nakreslit nekonečné průměry na kruhu a každý z nich měří to samé.

Reference

1. Antonio. Reuleauxovy trojúhelníky a další křivky konstantní šířky. Obnoveno z: divulgators.com.
2. Baldor, A. 2002. Rovinná a kosmická geometrie a trigonometrie. Kulturní skupina Patria.
3. Jiménez, R. Matematika II. Geometrie a trigonometrie. 2. Edice. Pearson.
4. Wikipedia. Reuleauxův trojúhelník. Obnoveno z: es.wikipedia.org.
5. Wolfram MathWorld. Průměr. Obnoveno z: mathworld.wolfram.com.