ROZDÍL V KOSTKÁCH: VZORCE, ROVNICE, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Rozdíl kostek je binomické algebraický výraz v podobě A ³ - b ³, kde výrazy A a B mohou být reálná čísla nebo algebraické výrazy různých typů. Příklad rozdílu kostek je: 8 - x ³, protože 8 lze psát jako 2 ³.

Geometricky můžeme uvažovat o velké krychli se stranou a, od které se odečte malá krychle se stranou b, jak je znázorněno na obrázku 1:

Obrázek 1. Rozdíl v kostkách. Zdroj: F. Zapata.

Objem výsledné postavy je přesně rozdílem kostek:

V = a ³ - b ³

Chcete-li najít alternativní výraz, je třeba poznamenat, že toto číslo lze rozložit na tři hranoly, jak je ukázáno níže:

Obrázek 2. Rozdíl kostek (vlevo od rovnosti) se rovná součtu dílčích objemů (vpravo). Zdroj: F. Zapata.

Hranol má objem daný součinem jeho tří rozměrů: šířka x výška x hloubka. Takto je výsledný objem:

V = a ³ - b ³ = a ².B + b ³ + ab ²

Faktor b je napravo společný. Kromě toho na výše uvedeném obrázku je zejména pravda, že:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Lze tedy říci, že: b = a - b. Tím pádem:

Tento způsob vyjádření rozdílu kostek se ukáže jako velmi užitečný v mnoha aplikacích a byl by získán stejným způsobem, i když strana chybějící kostky v rohu byla jiná než b = a / 2.

Všimněte si, že druhé závorky se velmi podobají pozoruhodnému součtu druhé mocniny součtu, ale křížový termín se nevynásobí 2. Čtenář může rozšířit pravou stranu, aby ověřil, že se skutečně získá ³ - b ³.

Příklady

Existuje několik rozdílů v kostkách:

1 - m ⁶

⁶ b ³ - 8Z ¹² a ⁶

(1/125).x ⁶ - 27 let ⁹

Pojďme analyzovat každou z nich. V prvním příkladu 1 může být psáno jako 1 = 1 ³ a termín m ⁶ se stává: (m ²) ³. Oba termíny jsou dokonalé kostky, proto se liší:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

V druhém příkladu jsou termíny přepsány:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2Z ⁴ y ²) ³

Rozdíl těchto kostek je: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

Nakonec se frakce (1/125) je (1/5 ³) x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, a y ⁹ = (y ³) ³. Nahrazením všeho v původním výrazu získáte:

(1/125).x ⁶ - 27 let ⁹ = ³ - (3y ³) ³

Faktoring rozdíl kostek

Faktoring rozdíl kostek zjednodušuje mnoho algebraických operací. Chcete-li to provést, použijte vzorec odvozený výše:

Obrázek 3. Faktorizace rozdílu kostek a vyjádření pozoruhodného kvocientu. Zdroj: F. Zapata.

Nyní se postup použití tohoto vzorce skládá ze tří kroků:

- Nejprve se získá kořen krychle každé z podmínek rozdílu.

- Poté se sestaví binomie a trinomie, které se objevují na pravé straně vzorce.

- Nakonec jsou binomie a trinomie nahrazeny, aby se získala konečná faktorizace.

Podívejme se na použití těchto kroků s každým z výše uvedených příkladů krychlových rozdílů a získáme jejich ekvivalentní faktor.

Příklad 1

Faktor výraz 1 - m ⁶ podle popsaných kroků. Začneme tím, že přepíšeme výraz jako 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³ a získáme příslušné kořeny krychle každého termínu:

Dále jsou konstruovány binomické a trinomiální:

a = 1

b = m ²

Tak:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + ¹ m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

Nakonec je ve vzorci a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²) nahrazen:

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

Příklad 2

Faktorizovat:

A ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2Z ⁴ y ²) ³

Protože se jedná o dokonalé kostky, kořeny krychle jsou okamžité: a ² b a 2z ⁴ a ², z toho vyplývá, že:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ a ²

- Trinomiální: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

Nyní je vytvořena požadovaná faktorizace:

A ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - ^{2 z 4} y ²).

Faktoring je v zásadě připraven, ale často je nutné každý termín zjednodušit. Poté se vytvoří pozoruhodný produkt - čtverec částky -, který se objeví na konci, a poté se přidají stejné termíny. Vzpomínáme, že čtverec částky je:

Pozoruhodný produkt napravo je vyvíjen takto:

(a ² b + 2z ⁴ a ²) ² = a ⁴ b ² + 4 a ² b.z ⁴ a ² + 4z ⁸ a ⁴

Nahrazení expanze získané při faktorizaci rozdílu kostek:

A ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Nakonec, seskupením podobných termínů a faktorováním číselných koeficientů, které jsou všechny sudé, získáme:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - ^{2 z 4} y ²).

Příklad 3

Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ je mnohem jednodušší než v předchozím případě. Nejprve jsou identifikovány ekvivalenty aab:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Poté jsou přímo ve vzorci nahrazeny:

(1/125).x ⁶ - 27 let ⁹ =.

Cvičení vyřešeno

Jak jsme řekli, rozdíl kostek má v Algebře řadu aplikací. Uvidíme některé:

Cvičení 1

Vyřešte následující rovnice:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Řešení

Nejprve je rovnice faktorována tímto způsobem:

x ² (x ³ - 125) = 0

Protože 125 je perfektní krychle, jsou závorky psány jako rozdíl kostek:

x ². (x ³ - 5 ³) = 0

První řešení je x = 0, ale zjistíme více, pokud vyděláme x ³ - 5 ³ = 0, pak:

x ³ = 5 ³ → x = 5

B. Řešení

Levá strana rovnice je přepsána jako 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³. Tím pádem:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Protože exponent je stejný:

9x = 4 → x = 9/4

Cvičení 2

Faktor výraz:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Řešení

Tento výraz je rozdílem kostek, pokud ve faktoringovém vzorci zjistíme, že:

a = x + y

b = x- y

Pak se nejprve vytvoří dalekohled:

a - b = x + y - (x- y) = 2r

A nyní trinomiální:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Vyvíjejí se významné produkty:

Dále musíte nahradit a omezit podobné podmínky:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Factoring vede k:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2r. (3x ² + y ²)

Reference

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. Nadace CK-12. Součet a rozdíl kostek. Obnoveno z: ck12.org.
3. Khan Academy. Faktoring rozdílů v kostkách. Obnoveno z: es.khanacademy.org.
4. Math je Fun Advanced. Rozdíl dvou kostek. Obnoveno z: mathsisfun.com
5. UNAM. Faktoring rozdíl kostek. Obnoveno z: dcb.fi-c.unam.mx.