- Vzorec
- Euklidovská vzdálenost ve dvou rozměrech
- Neeuklidovské povrchy
- Euklidovská vzdálenost v n rozměrech
- Jak vypočítat euklidovskou vzdálenost
- Příklad
- Reference
Euklidovská vzdálenost je kladné číslo, které udává vzdálenost mezi dvěma body v prostoru, pokud jsou splněny axiomy a věty geometrie Euclidovy.
Vzdálenost mezi dvěma body A a B v euklidovském prostoru je délka vektoru AB, který patří do jediné linie, která prochází těmito body.
Obrázek 1. Jednorozměrný euklidovský prostor tvořený linií (OX). Na uvedeném prostoru je uvedeno několik bodů, jejich souřadnice a vzdálenosti. (Připravil Ricardo Pérez).
Prostor, který lidé vnímají a kam se pohybujeme, je trojrozměrný (3-D) prostor, kde jsou naplněny axiomy a věty Euklidovy geometrie. V tomto prostoru jsou obsaženy dvourozměrné podprostory (roviny) a jednorozměrné podprostory (čáry).
Euklidovské prostory mohou být jednorozměrné (1-D), dvourozměrné (2-D), trojrozměrné (3-D) nebo n-rozměrné (nD).
Body v jednorozměrném prostoru X jsou ty, které patří k orientované přímce (OX), směr od O do X je kladný směr. K nalezení bodů na této linii se používá kartézský systém, který spočívá v přiřazení čísla každému bodu linky.
Vzorec
Euklidovská vzdálenost d (A, B) mezi body A a B, umístěná na přímce, je definována jako druhá odmocnina druhé mocniny rozdílů v jejich souřadnicích X:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Tato definice zaručuje, že: vzdálenost mezi dvěma body je vždy kladná veličina. A že vzdálenost mezi A a B je stejná jako vzdálenost mezi B a A.
Obrázek 1 ukazuje jednorozměrný euklidovský prostor tvořený linií (OX) a několika body na uvedené linii. Každý bod má souřadnice:
Bod A má souřadnici XA = 2,5, bod B souřadnice XB = 4 a bod C souřadnice XC = -2,5
d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5
d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5
d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0
Euklidovská vzdálenost ve dvou rozměrech
Dvourozměrný euklidovský prostor je rovina. Body euklidovské roviny splňují axiomy euklidovské geometrie, například:
- Jedna čára prochází dvěma body.
- Tři body v rovině tvoří trojúhelník, jehož vnitřní úhly se vždy rovnají až 180 °.
- V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec propony rovná součtu čtverců jeho nohou.
Ve dvou dimenzích má bod souřadnice X a Y.
Například bod P má souřadnice (XP, YP) a bod Q souřadnice (XQ, YQ).
Euklidovská vzdálenost mezi body P a Q je definována pomocí následujícího vzorce:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Je třeba poznamenat, že tento vzorec je ekvivalentem Pythagorovy věty, jak ukazuje obrázek 2.
Obrázek 2. Vzdálenost mezi dvěma body P a Q v rovině splňuje Pythagorovu větu. (Připravil Ricardo Pérez).
Neeuklidovské povrchy
Ne všechny dvourozměrné prostory odpovídají euklidovské geometrii. Povrch koule je dvourozměrný prostor.
Úhly trojúhelníku na kulovité ploše se nesčítají do 180 °, a tím není splněna Pythagorova věta, proto kulová plocha nesplňuje Euclidovy axiomy.
Euklidovská vzdálenost v n rozměrech
Koncept souřadnic lze rozšířit na větší rozměry:
- Ve 2-D bodě P jsou souřadnice (XP, YP)
- V 3-D má bod Q souřadnice (XQ, YQ, ZQ)
- Ve 4-D bude mít bod R souřadnice (XR, YR, ZR, WR)
- V nD bude mít bod P souřadnice (P1, P2, P3,….., Pn)
Vzdálenost mezi dvěma body P a Q n-rozměrného euklidovského prostoru se vypočítá podle následujícího vzorce:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)
Místo všech bodů Q v ndimenzionálním euklidovském prostoru ekvidistantním od jiného pevného bodu P (střed) tvoří n-dimenzionální hypersféru.
Jak vypočítat euklidovskou vzdálenost
Následující ukazuje, jak se vypočítává vzdálenost mezi dvěma body umístěnými v euklidovském trojrozměrném prostoru.
Předpokládejme bod A kartézských souřadnic x, y, z daný A:(2, 3, 1) a bod B souřadnic B:(-3, 2, 2).
Chceme určit vzdálenost mezi těmito body, pro které se používá obecný vztah:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5 196
Příklad
Existují dva body P a Q. Bod P kartézských souřadnic x, y, z daný P:(2, 3, 1) a bod Q souřadnic Q:(-3, 2, 1).
Je žádáno najít souřadnice středu M segmentu spojujícího dva body.
Předpokládá se, že neznámý bod M má souřadnice (X, Y, Z).
Protože M je střed, musí platit, že d (P, M) = d (Q, M), takže d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 musí být také pravdivé:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Stejně jako v tomto případě je třetí funkční období u obou členů stejné, předchozí výraz zjednodušuje:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Potom máme rovnici se dvěma neznámými X a Y. K vyřešení problému je nutná další rovnice.
Bod M patří do linie, která prochází body P a Q, které můžeme vypočítat následujícím způsobem:
Nejprve najdeme řídící vektor PQ linie: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Pak PM = OP + a PQ, kde OP je polohový vektor bodu P a je parametr, který patří ke skutečným číslům.
Výše uvedená rovnice je známá jako vektorová rovnice přímky, která má v kartézských souřadnicích následující podobu:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Odpovídající komponenty máme:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3-a; Z - 1 = 0
To znamená, že X = 4 - 5a, Y = 6 - a, konečně Z = 1.
Je nahrazen kvadratickým výrazem, který se vztahuje na X k Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Je to zjednodušeno:
(2 - 5a) ^ 2 + (3-a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Nyní se odvíjí:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Zjednodušuje se a ruší stejné podmínky u obou členů:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Parametr a je vymazán:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, což vede k a = 1.
To znamená, že X = 4 - 5, Y = 6 - 1, konečně Z = 1.
Nakonec dostaneme karteziánské souřadnice středu M segmentu:
M: (-1, 5, 1).
Reference
- Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
- Superprof. Vzdálenost mezi dvěma body. Obnoveno z: superprof.es
- UNAM. Vzdálenost mezi afinskými sublearními rozdělovači. Obnoveno z: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Euklidovská vzdálenost. Obnoveno z: es.wikipedia.com
- wikipedia. Euklidovský prostor. Obnoveno z: es.wikipedia.com