Binomické rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti, se kterou se počítá pravděpodobnost výskytu událostí, za předpokladu, že se vyskytují ve dvou formách: úspěch nebo neúspěch.
Tato označení (úspěch nebo neúspěch) jsou zcela libovolná, protože nemusí nutně znamenat dobré nebo špatné věci. V tomto článku si ukážeme matematickou formu binomického rozložení a poté bude podrobně vysvětlen význam jednotlivých termínů.
Obrázek 1. Role formy je jev, který lze modelovat pomocí binomického rozdělení. Zdroj: Pixabay.
Rovnice
Rovnice je následující:
S x = 0, 1, 2, 3….n, kde:
- P (x) je pravděpodobnost, že bude mít přesně x úspěchů mezi n pokusy nebo pokusy.
- x je proměnná, která popisuje fenomén zájmu, který odpovídá počtu úspěchů.
- n počet pokusů
- p je pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu
- q je pravděpodobnost selhání při jednom pokusu, proto q = 1 - p
Vykřičník "!" je používán pro faktoriální notaci, takže:
0! = 1
jeden! = 1
dva! = 2,1 = 2
3! = 3,2 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
A tak dále.
Pojem
Binomické rozdělení je velmi vhodné pro popis situací, ve kterých k události dochází nebo k ní nedochází. Pokud k tomu dojde, je to úspěch a pokud ne, pak je to selhání. Pravděpodobnost úspěchu musí dále zůstat konstantní.
Existují jevy, které těmto podmínkám vyhovují, například házení mince. V tomto případě můžeme říci, že „úspěch“ se dostává do tváře. Pravděpodobnost je 1/2 a nemění se, bez ohledu na to, kolikrát se hodí mince.
Role čestné matrice je dalším dobrým příkladem, stejně jako rozdělení určité produkce na dobré kusy a vadné kusy a získání červené namísto černé při rotaci kola.
vlastnosti
Charakteristiky binomického rozdělení můžeme shrnout následovně:
- Každá událost nebo pozorování je získáno z nekonečné populace bez náhrady nebo z konečné populace s náhradou.
- Jsou zvažovány pouze dvě možnosti, které se vzájemně vylučují: úspěch nebo neúspěch, jak je vysvětleno na začátku.
- Pravděpodobnost úspěchu musí být při každém pozorování konstantní.
- Výsledek jakékoli události je nezávislý na jakékoli jiné události.
- Průměr binomického rozdělení je np
- Standardní odchylka je:
Příklad aplikace
Vezměme si jednoduchou akci, která může mít 2 hlavy 5 trojnásobným hodením poctivé kostky. Jaká je pravděpodobnost, že ve 3 hodech budou získány 2 hlavy z 5?
Existuje několik způsobů, jak toho dosáhnout, například:
- První dvě spuštění jsou 5 a poslední ne.
- První a poslední jsou 5, ale ne prostřední.
- Poslední dva hody jsou 5 a první ne.
Vezměme si první sekvenci popsanou jako příklad a vypočtěte její pravděpodobnost výskytu. Pravděpodobnost získání 5 hlav na první roli je 1/6 a také na druhé, protože se jedná o nezávislé události.
Pravděpodobnost získání jiné hlavy než 5 na posledním hodu je 1 - 1/6 = 5/6. Pravděpodobnost, že tato sekvence vyjde, je tedy výsledkem pravděpodobností:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
A co další dvě sekvence? Mají stejnou pravděpodobnost: 0,023.
A protože máme celkem 3 úspěšné sekvence, bude celková pravděpodobnost:
Příklad 2
Jedna univerzita tvrdí, že 80% studentů na vysokoškolském basketbalovém týmu je absolventem. Vyšetřování zkoumá akademický záznam 20 studentů patřících k uvedenému basketbalovému týmu, kteří se před nějakou dobou zapsali na univerzitu.
Z těchto 20 studentů 11 ukončilo studium a 9 ukončilo studium.
Obrázek 2. Téměř všichni studenti, kteří hrají pro absolventa vysokoškolského studia. Zdroj: Pixabay.
Pokud je výrok univerzity pravdivý, měl by mít počet studentů, kteří hrají basketbal a absolvent, z 20, binomické rozdělení s n = 20 a p = 0,8. Jaká je pravděpodobnost, že přesně 11 z 20 hráčů vystoupí?
Řešení
V binomickém rozdělení:
Příklad 3
Vědci provedli studii, aby zjistili, zda existují významné rozdíly v míře absolventů mezi studenty medicíny přijímanými prostřednictvím zvláštních programů a studenty medicíny přijímanými na základě pravidelných přijímacích kritérií.
U absolventů doktorských studií přijímaných prostřednictvím zvláštních programů (na základě údajů z časopisu The American Medical Association) byla zjištěna míra promoce.
Pokud je náhodně vybráno 10 studentů speciálních programů, zjistěte pravděpodobnost, že alespoň 9 z nich absolvovalo.
b) Bylo by neobvyklé náhodně vybrat 10 studentů ze speciálních programů a zjistit, že pouze 7 z nich absolvovalo?
Řešení
Pravděpodobnost, že student přijatý prostřednictvím zvláštního programu absolvuje, je 94/100 = 0,94. Ze speciálních programů vybíráme n = 10 studentů a chceme zjistit pravděpodobnost, že alespoň 9 z nich bude maturovat.
V binomickém rozdělení jsou pak nahrazeny následující hodnoty:
b)
Reference
- Berenson, M. 1985. Statistika pro management a ekonomiku. Interamericana SA
- MathWorks. Binomické rozdělení. Obnoveno z: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistika pro management a ekonomiku. 3. edice. Grupo Editorial Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Aplikované základní statistiky. 2. Edice.
- Triola, M. 2012. Elementární statistika. 11. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Binomické rozdělení. Obnoveno z: es.wikipedia.org