DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI: CHARAKTERISTIKY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Tyto diskrétní rozdělení pravděpodobnosti jsou funkce, která přiřazuje každý prvek X (S) = {x1, x2,…, xi,…}, kde X je diskrétní náhodná veličina vzhledem a S je prostor vzorku, je pravděpodobnost, že uvedená událost nastane. Tato funkce f X (S) definovaná jako f (xi) = P (X = xi) se někdy nazývá pravděpodobnostní hmotnostní funkce.

Tato množství pravděpodobností je obecně zastoupeno ve formě tabulky. Protože X je diskrétní náhodná proměnná, má X (S) konečný počet událostí nebo spočítatelné nekonečno. Mezi nejběžnější diskrétní rozdělení pravděpodobnosti máme rovnoměrné rozdělení, binomické rozdělení a Poissonovo rozdělení.

vlastnosti

Funkce rozdělení pravděpodobnosti musí splňovat následující podmínky:

Dále, pokud X bere pouze konečný počet hodnot (například x1, x2,…, xn), pak p (xi) = 0, pokud i> ny, tak se nekonečná řada podmínek b stává a konečná řada.

Tato funkce také splňuje následující vlastnosti:

Nechť B je událost spojená s náhodnou proměnnou X. To znamená, že B je obsažena v X (S). Konkrétně předpokládejme, že B = {xi1, xi2,…}. Tím pádem:

Jinými slovy, pravděpodobnost události B se rovná součtu pravděpodobností jednotlivých výsledků spojených s B.

Z toho můžeme usoudit, že pokud a <b, události (X ≤ a) a (a <X ≤ b) se vzájemně vylučují a dále, jejich spojení je událost (X ≤ b), takže máme:

Typy

Rovnoměrné rozdělení n bodů

Říká se, že náhodná proměnná X sleduje rozdělení charakterizované tím, že je v n bodech jednotná, pokud je každé hodnotě přiřazena stejná pravděpodobnost. Jeho pravděpodobnostní hmotnostní funkce je:

Předpokládejme, že máme experiment, který má dva možné výsledky, může to být házení mince, jejíž možné výsledky jsou hlavy nebo ocasy, nebo výběr celého čísla, jehož výsledkem může být sudé nebo liché číslo; tento typ experimentu se nazývá Bernoulliho testy.

Obecně se dva možné výsledky nazývají úspěch a selhání, kde p je pravděpodobnost úspěchu a 1-p je pravděpodobnost selhání. Můžeme určit pravděpodobnost x úspěchů v n Bernoulliho testech, které jsou na sobě nezávislé, s následující distribucí.

Binomické rozdělení

Je to funkce, která představuje pravděpodobnost získání x úspěchů v n nezávislých Bernoulliho testech, jejichž pravděpodobnost úspěchu je p. Jeho pravděpodobnostní hmotnostní funkce je:

Následující graf představuje hmotnostní funkci pravděpodobnosti pro různé hodnoty parametrů binomického rozdělení.

Následující distribuce vděčí za své jméno francouzskému matematikovi Simeon Poissonovi (1781-1840), který jej získal jako limit binomického rozdělení.

Poissonova distribuce

O náhodné proměnné X se říká, že má Poissonovo rozdělení parametru λ, když může převzít kladné celé číslo 0,1,2,3,… s následující pravděpodobností:

V tomto výrazu λ je průměrný počet odpovídající výskytům události pro každou jednotku času a x je počet výskytů události.

Jeho pravděpodobnostní hmotnostní funkce je:

Zde je graf, který představuje hmotnostní funkci pravděpodobnosti pro různé hodnoty parametrů Poissonova rozdělení.

Všimněte si, že pokud je počet úspěchů nízký a počet testů prováděných na binomickém rozdělení je vysoký, můžeme tyto distribuce vždy přibližovat, protože Poissonovo rozdělení je limitem binomického rozdělení.

Hlavní rozdíl mezi těmito dvěma distribucemi je ten, že zatímco binomie závisí na dvou parametrech, jmenovitě n a p, Poisson závisí pouze na λ, což se někdy nazývá intenzita distribuce.

Doposud jsme mluvili pouze o rozdělení pravděpodobnosti pro případy, kdy různé experimenty jsou na sobě nezávislé; to je, když výsledek jednoho není ovlivněn jiným výsledkem.

Když nastane případ experimentů, které nejsou nezávislé, je velmi užitečné hypergeometrické rozdělení.

Hypergeometrické rozdělení

Nechť N je celkový počet objektů konečné množiny, z nichž můžeme určitým způsobem z nich identifikovat k, čímž se vytvoří podskupina K, jejíž komplement je tvořen zbývajícími elementy Nk.

Pokud náhodně vybereme n objektů, má náhodná proměnná X, která představuje počet objektů patřících K v uvedené volbě, hypergeometrické rozdělení parametrů N, n a k. Jeho pravděpodobnostní hmotnostní funkce je:

Následující graf představuje hmotnostní funkci pravděpodobnosti pro různé hodnoty parametrů hypergeometrického rozdělení.

Řešená cvičení

První cvičení

Předpokládejme, že pravděpodobnost, že rádiová trubice (umístěná v určitém typu zařízení) bude fungovat déle než 500 hodin, je 0,2. Pokud je testováno 20 zkumavek, jaká je pravděpodobnost, že přesně k z nich bude běžet déle než 500 hodin, k = 0, 1,2,…, 20?

Řešení

Pokud X je počet zkumavek, které pracují více než 500 hodin, budeme předpokládat, že X má binomické rozdělení. Tak

A tak:

Pro k≥11 jsou pravděpodobnosti menší než 0,001

Můžeme tedy vidět, jak se zvyšuje pravděpodobnost, že k těchto prací po dobu delší než 500 hodin, dokud nedosáhne své maximální hodnoty (s k = 4) a poté začne klesat.

Druhé cvičení

Mince se vyhodí 6krát. Když je výsledek drahý, řekneme, že je to úspěch. Jaká je pravděpodobnost, že dvě hlavy dorazí přesně?

Řešení

V tomto případě máme n = 6 a pravděpodobnost úspěchu i neúspěchu jsou p = q = 1/2

Pravděpodobnost, že jsou dány dvě hlavy (tj. K = 2), je tedy

Třetí cvičení

Jaká je pravděpodobnost nalezení alespoň čtyř hlav?

Řešení

Pro tento případ máme k = 4, 5 nebo 6

Třetí cvičení

Předpokládejme, že 2% položek vyrobených v továrně jsou vadné. Najděte pravděpodobnost P, že ve vzorku 100 položek jsou tři vadné položky.

Řešení

V tomto případě bychom mohli použít binomické rozdělení pro n = 100 a p = 0,02, což by mělo za následek:

Protože však p je malé, používáme Poissonovu aproximaci s λ = np = 2. Tak,

Reference

1. Kai Lai Chung. Teorie základních schopností se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen Diskrétní matematika a její aplikace. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Pravděpodobnost a statistické aplikace. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 řešené problémy diskrétní matematiky. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problémy teorie a pravděpodobnosti. McGRAW-HILL.