SYNTETICKÉ DĚLENÍ: METODA A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Syntetický rozdělení je jednoduchý způsob dělení polynomu p (x) některý z tvaru d (x) = x - c. Například polynom P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) může být reprezentován jako násobení dvou nejjednodušších polynomů (x + 1) a (x ⁴ + 2x ³⁾).

Je to velmi užitečný nástroj, protože kromě toho, že nám umožňuje dělit polynomy, také nám umožňuje vyhodnotit polynom P (x) na libovolném čísle c, což nám zase přesně říká, zda je toto číslo nula nebo ne polynomu.

Díky algoritmu dělení víme, že pokud máme dva nekonstantní polynomy P (x) a d (x), existují jedinečné polynomy q (x) a r (x), takže je pravda, že P (x) = q (x) d (x) + r (x), kde r (x) je nula nebo menší než q (x). Tyto polynomy jsou známé jako kvocient a zbytek nebo zbytek.

V případech, kdy je polynom d (x) ve tvaru x- c, nám syntetické dělení dá krátký způsob, jak zjistit, kdo q (x) a r (x) jsou.

Metoda syntetického dělení

Nechť P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polynom, který chceme dělit, a d (x) = xc dělitel. Při dělení metodou syntetického dělení postupujeme takto:

1 - Zapíšeme koeficienty P (x) do prvního řádku. Pokud se neobjeví žádná mocnina X, dáme jako její koeficient nulu.

2- Ve druhé řadě nalevo od a _n umístíme c a nakreslíme dělicí čáry, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

3 - Snižujeme počáteční koeficient do třetí řady.

V tomto výrazu b _n-1 = a _n

4- Vynásobíme c vedoucím koeficientem b _n-1 a výsledek zapíšeme do druhého řádku, ale jeden sloupec doprava.

5- Přidáme sloupec, ve kterém píšeme předchozí výsledek a umístíme výsledek pod tuto částku; to znamená ve stejném sloupci třetí řádek.

Při sčítání máme jako výsledek _n-1 + c * b _n-1, který pro větší pohodlí zavoláme b _n-2

6- Vynásobíme c předchozím výsledkem a výsledek zapíšeme napravo do druhého řádku.

7- Opakujeme kroky 5 a 6, dokud nedosáhneme koeficientu na ₀.

8- Píšeme odpověď; to znamená kvocient a zbytek. Protože dělíme polynom stupně n n polynomem stupně 1, máme k dispozici kvocient stupně n-1.

Koeficienty kvocientu kvocientu budou čísla ve třetím řádku kromě posledního, což bude zbytkový polynom nebo zbytek dělení.

Řešená cvičení

- Příklad 1

Proveďte následující dělení metodou syntetického dělení:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Řešení

Nejprve zapíšeme koeficienty dividendy takto:

Pak napíšeme c na levou stranu, do druhé řady, spolu s dělícími čarami. V tomto příkladu c = -1.

Snížíme počáteční koeficient (v tomto případě b _n-1 = 1) a vynásobíme jej -1:

Výsledek zapíšeme vpravo do druhého řádku, jak je ukázáno níže:

Do druhého sloupce přidáme čísla:

Vynásobíme 2 x -1 a výsledek zapíšeme do třetího sloupce, do druhého řádku:

Ve třetím sloupci přidáme:

Stejným způsobem postupujeme, dokud nedosáhneme posledního sloupce:

Máme tedy, že poslední získané číslo je zbývající část dělení a zbývající čísla jsou koeficienty kvocientu polynomu. Toto je psáno takto:

Pokud chceme ověřit správnost výsledku, stačí ověřit, zda je následující rovnice pravdivá:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Můžeme tedy zkontrolovat, zda je získaný výsledek správný.

- Příklad 2

Proveďte následující dělení polynomů metodou syntetického dělení

(7x ^3- x + 2): (x + 2)

Řešení

V tomto případě máme, že se termín x ² neobjeví, takže jako jeho koeficient zapíšeme 0. To znamená, že by se polynom 7x ³ + 0x ² -X + 2.

Píšeme jejich koeficienty v řadě, toto je:

Na levou stranu druhého řádku zapíšeme hodnotu C = -2 a nakreslíme dělicí čáry.

Snížíme počáteční koeficient b _n-1 = 7 a vynásobíme jej -2, výsledek zapíšeme do druhé řady vpravo.

Přidáváme a pokračujeme, jak bylo vysvětleno dříve, dokud nedosáhneme posledního období:

V tomto případě je zbytek je R (x) = - 52 a kvocient získaný q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Příklad 3

Dalším způsobem použití syntetického dělení je následující: Předpokládejme, že máme polynom P (x) stupně n a chceme vědět, jaká je jeho hodnota vyhodnocením v x = c.

Pomocí algoritmu dělení můžeme psát polynom P (x) následujícím způsobem:

V tomto výrazu jsou q (x) a r (x) kvocient a zbytek. Nyní, pokud d (x) = x- c, při hodnocení v c v polynomu dostaneme následující:

Zbývá tedy jen najít ar (x), a to můžeme udělat díky syntetickému dělení.

Například, máme polynomu P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 a chceme vědět, co jeho hodnota je na základě vyhodnocení to u x = 5. K tomu proveďte dělat dělení mezi P (x) a d (x) = x -5 metodou syntetického dělení:

Jakmile jsou operace dokončeny, víme, že můžeme psát P (x) následujícím způsobem:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ -X ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (X-5) + 4253

Proto při jeho hodnocení musíme:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Jak vidíme, je možné použít syntetické dělení k nalezení hodnoty polynomu tím, že se vyhodnotí v c, spíše než jednoduše nahradí c za x.

Pokud bychom se pokusili hodnotit P (5) tradičním způsobem, byli bychom nuceni provést některé výpočty, které se často stanou únavné.

- Příklad 4

Algoritmus dělení pro polynomy platí také pro polynomy se složitými koeficienty, a v důsledku toho máme, že metoda syntetického dělení funguje i pro takové polynomy. Uvidíme příklad níže.

Použijeme metodu syntetického dělení, abychom ukázali, že z = 1+ 2i je nula polynomu P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); to znamená, že zbytek divize P (x) d (x) = x - z je roven nule.

Postupujeme jako dříve: v prvním řádku zapíšeme koeficienty P (x), potom ve druhém píšeme z a nakreslíme dělicí čáry.

Provádíme rozdělení jako předtím; tohle je:

Můžeme pozorovat, že zbytek je nula; proto dochází k závěru, že z = 1+ 2i je nula P (x).

Reference

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafický, numerický, algebraický 7. ed. Pearsonovo vzdělávání.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Prentice hala
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. vydání. Pearsonovo vzdělávání.
5. Červené. Armando O. Algebra 1 6th Ed. The Athenaeum.