POLYNOMIÁLNÍ ROVNICE (S VYŘEŠENÝMI CVIKY) - MATEMATIKA - 2025

Tyto polynomial rovnice jsou prohlášení, která zvyšuje rovnost dvou výrazů nebo členů, kde je alespoň jeden z termínů, které tvoří až každou stranu rovnosti jsou polynomy P (x). Tyto rovnice jsou pojmenovány podle stupně jejich proměnných.

Obecně platí, že rovnice je prohlášení, které stanoví rovnost dvou výrazů, kde alespoň v jednom z nich jsou neznámé veličiny, které se nazývají proměnné nebo neznámé. Ačkoli existuje mnoho typů rovnic, obecně se dělí na dva typy: algebraické a transcendentní.

Polynomiální rovnice obsahují pouze algebraické výrazy, které mohou mít jednu nebo více neznámých v rovnici. Podle exponenta (stupně), které mají, lze je rozdělit na: první stupeň (lineární), druhý stupeň (kvadratický), třetí stupeň (krychlový), čtvrtý stupeň (kvartický), stupeň větší nebo rovný pěti a iracionální.

vlastnosti

Polynomiální rovnice jsou výrazy, které jsou vytvářeny rovností mezi dvěma polynomy; tj. konečnými součty násobků mezi hodnotami, které jsou neznámé (proměnné) a pevnými čísly (koeficienty), kde proměnné mohou mít exponenty a jejich hodnota může být kladné celé číslo, včetně nuly.

Exponenty určují stupeň nebo typ rovnice. Termín ve výrazu s nejvyšším exponentem bude představovat absolutní stupeň polynomu.

Polynomiální rovnice jsou také známé jako algebraické rovnice, jejich koeficienty mohou být reálná nebo komplexní čísla a proměnné jsou neznámá čísla představovaná písmenem, jako například: "x".

Pokud nahradíme proměnnou "x" v P (x), výsledek se rovná nule (0), pak se o této hodnotě říká, že vyhovuje rovnici (jedná se o řešení), a obecně se nazývá kořen polynomu.

Při vývoji polynomiální rovnice chcete najít všechny kořeny nebo řešení.

Typy

Existuje několik typů polynomických rovnic, které jsou diferencovány podle počtu proměnných a také podle stupně jejich exponentu.

Tedy, polynomiální rovnice - kde její první člen je polynom, který má jediný neznámý, vzhledem k tomu, že jeho stupeň může být libovolné přirozené číslo (n) a druhý člen je nula -, lze vyjádřit takto:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Kde:

- a _n, a _-1 a ₀ jsou skutečné koeficienty (čísla).

- a _n se liší od nuly.

- Exponent n je kladné celé číslo, které představuje stupeň rovnice.

- x je proměnná nebo neznámá prohledávaná.

Absolutní nebo vyšší stupeň polynomiální rovnice je exponent s nejvyšší hodnotou ze všech těch, které tvoří polynom; rovnice jsou tedy klasifikovány jako:

První stupeň

Polynomiální rovnice prvního stupně, také známé jako lineární rovnice, jsou ty, ve kterých je stupeň (největší exponent) roven 1, polynom má tvar P (x) = 0; y se skládá z lineárního a nezávislého termínu. Je psáno následovně:

ax + b = 0.

Kde:

- aab jsou reálná čísla a a ≠ 0.

- ax je lineární pojem.

- b je nezávislý termín.

Například rovnice 13x - 18 = 4x.

Chcete-li vyřešit lineární rovnice, musí být všechny výrazy, které obsahují neznámé x, předány na jednu stranu rovnosti a ty, které je nemají, přesunou na druhou stranu, aby jej vyřešily a získaly řešení:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Daná rovnice má tedy pouze jedno řešení nebo kořen, což je x = 2.

Druhá třída

Polynomiální rovnice druhého stupně, také známé jako kvadratické rovnice, jsou ty, ve kterých je stupeň (největší exponent) roven 2, polynom má tvar P (x) = 0 a je složen z kvadratického termínu, jeden lineární a jeden nezávislý. Vyjadřuje se takto:

ax ² + bx + c = 0.

Kde:

- a, bac jsou reálná čísla a a ≠ 0.

- ax ² je kvadratický termín a „a“ je koeficient kvadratického termínu.

- bx je lineární člen a „b“ je koeficient lineárního členu.

- c je nezávislý termín.

Solventní

Obecně je řešení tohoto typu rovnic dáno zúčtováním x z rovnice a je to následující, které se nazývá rezoluce:

Tam, (b ² - 4ac) se nazývá diskriminační rovnice a tento výraz určuje počet řešení, která rovnice může mít:

- Pokud (b ² - 4ac) = 0, bude rovnice mít jedno řešení, které je dvojité; to znamená, že bude mít dvě stejná řešení.

- Pokud (b ² - 4ac)> 0, bude mít rovnice dvě různá reálná řešení.

- Pokud (b ² - 4ac) <0, rovnice nemá řešení (bude mít dvě různá komplexní řešení).

Například máme rovnici 4x ² + 10x - 6 = 0, abychom ji vyřešili, nejprve identifikujte výrazy a, ba ac, a pak je nahraďte ve vzorci:

a = 4

b = 10

c = -6.

Existují případy, kdy polynomiální rovnice druhého stupně nemají všechny tři termíny, a proto jsou řešeny odlišně:

- V případě, že kvadratické rovnice nemají lineární člen (tj. B = 0), bude rovnice vyjádřena jako osa ² + c = 0. Chcete-li ji vyřešit, vyřešte x ² a použijte čtvercové kořeny v každém členu, pamatujíc na to, že je třeba vzít v úvahu dva možné znaky, které může mít neznámý:

ax ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Například 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 × 5

x = ± -4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Pokud kvadratická rovnice nemá nezávislý člen (tj. C = 0), bude rovnice vyjádřena jako osa ² + bx = 0. Abychom ji vyřešili, musíme vzít společný faktor neznámého x v prvním členu; Protože se rovnice rovná nule, je pravda, že alespoň jeden z faktorů bude roven 0:

ax ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Musíte tedy:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Například: máme rovnici 5x ² + 30x = 0. Nejprve faktor:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Generují se dva faktory, které jsou xy (5x + 30). Má se za to, že jeden z nich bude roven nule a druhý je vyřešen:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Nejvyšší známka

Polynomiální rovnice vyššího stupně jsou rovnice, které jdou od třetího stupně dále a které lze vyjádřit nebo vyřešit obecnou polynomiální rovnicí pro libovolný stupeň:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Toto je používáno protože rovnice se stupněm větším než dva je výsledek factoringu polynomial; to znamená, že je vyjádřeno jako násobení polynomů stupně jedna nebo vyšší, ale bez skutečných kořenů.

Řešení těchto typů rovnic je přímé, protože násobení dvou faktorů bude rovno nule, pokud je některý z faktorů null (0); proto musí být každá nalezená polynomiální rovnice vyřešena a každý z jejich faktorů musí být nastaven na nulu.

Například máme rovnici třetího stupně (krychlovou) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. K vyřešení je třeba dodržet následující kroky:

- Termíny jsou seskupeny:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ²) + (4x + 4) = 0.

- Členové se rozkládají, aby získali společný faktor neznámého:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Tímto způsobem se získají dva faktory, které se musí rovnat nule:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Je vidět, že faktor (x ² + 4) = 0 nebude mít skutečné řešení, zatímco faktor (x + 1) = 0 ano. Řešením je tedy:

(x + 1) = 0

x = -1.

Řešená cvičení

Vyřešte následující rovnice:

První cvičení

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Řešení

V tomto případě je rovnice vyjádřena jako násobení polynomů; to znamená, že je faktorováno. K vyřešení musí být každý faktor nastaven na nulu:

- 2x ² + 5 = 0, nemá řešení.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Daná rovnice má tedy dvě řešení: x = 3 a x = -1.

Druhé cvičení

x ⁴ - 36 = 0.

Řešení

Byl dán polynom, který může být přepsán jako rozdíl čtverců, aby bylo dosaženo rychlejšího řešení. Rovnice je tedy:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Pro nalezení řešení rovnic jsou oba faktory nastaveny na nulu:

(x ² + 6) = 0, nemá řešení.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± 6.

Počáteční rovnice má tedy dvě řešení:

x = √6.

x = - √6.

Reference

1. Andres, T. (2010). Matematická olympiáda. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementární algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineární algebra a projektivní geometrie. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Castaño, HF (2005). Matematika před výpočtem. University of Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Příručka matematické přípravy pro olympiádu. Univerzita Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Vyšší algebra I.
8. Massara, NC-L. (devatenáct devadesát pět). Matematika 3.