ENEAGON: VLASTNOSTI, JAK VYTVOŘIT ENEGON, PŘÍKLADY - MATEMATIKA

Enegon je polygon s devíti stranách a devíti vrcholy, které mohou nebo nemusí být správné. Jméno eneágono pochází z řečtiny a je složeno z řeckých slov ennea (devět) a gonon (úhel).

Alternativní název pro devětstranný mnohoúhelník je nonagon, který pochází z latinského slova nonus (devět) a gononu (vrchol). Na druhou stranu, pokud jsou strany nebo úhly eneagonů vzájemně nerovnoměrné, máte nepravidelný eneagon. Pokud jsou naopak všech devět stran a devět úhlů eneagonu stejné, jedná se o běžný eneagon.

Obrázek 1. Pravidelný a nepravidelný eneagon. (Vlastní zpracování)

Vlastnosti eneagonu

Pro mnohoúhelník s boky je součet jeho vnitřních úhlů:

(n - 2) * 180º

V enegonu by to bylo n = 9, takže součet jejích vnitřních úhlů je:

Sa = (9 - 2) * 180 ° = 7 * 180 ° = 1260 °

V jakémkoli polygonu je počet úhlopříček:

D = n (n - 3) / 2 a v případě enegonu, protože n = 9, pak máme D = 27.

Pravidelná enegon

V pravidelném eneagonu nebo nonagonu existuje devět (9) vnitřních úhlů stejné míry, proto každý úhel měří jednu devatinu celkového součtu vnitřních úhlů.

Míra vnitřních úhlů kružnice je pak 1260 ° / 9 = 140 °.

Obrázek 2. Apothem, poloměr, strany, úhly a vrcholy pravidelného eneagonu. (Vlastní zpracování)

Pro odvození vzorce pro oblast pravidelného enegonu se stranou d je výhodné provést některé pomocné konstrukce, jako jsou ty, které jsou znázorněny na obrázku 2.

Střed O je nalezen sledováním křižovatek dvou sousedních stran. Střed O je stejně vzdálený od vrcholů.

Poloměr délky r je úsek od středu O do vrcholu enegonu. Obrázek 2 ukazuje poloměry OD a OE délky r.

Apothem je segment, který jde ze středu do středu jedné strany enegonu. Například OJ je apothem, jehož délka je.

Oblast enegonu zná stranu a apothem

Uvažujeme trojúhelník ODE na obrázku 2. Oblast tohoto trojúhelníku je součinem jeho základní DE a výšky Úř.

Oblast ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Protože v enegonu je 9 trojúhelníků stejné oblasti, dochází k závěru, že jejich plocha je:

Plocha enegonu = (9/2) (d * a)

Oblast známého enegonu po straně

Pokud je známa pouze délka d stran enegonu, je nutné najít délku apothemu, aby bylo možné aplikovat vzorec v předchozí části.

Pravý trojúhelník OJE považujeme v J (viz obrázek 2). Při použití tangens trigonometrického poměru získáme:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Úhel ∡OEJ = 140 ° / 2 = 70 °, protože EO je přímka vnitřního úhlu kružnice.

Na druhou stranu je OJ apothemem délky a.

Poté, protože J je střed ED, vyplývá, že EJ = d / 2.

Nahrazení předchozích hodnot v tangensním vztahu máme:

tan (70 °) = a / (d / 2).

Nyní vyčistíme délku apothem:

a = (d / 2) tan (70 °).

Předchozí výsledek se nahradí ve vzorci oblasti a získá se:

Plocha enegonu = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70 °))

Nakonec najdeme vzorec, který umožňuje získat oblast pravidelného enegonu, pokud je známa pouze délka d jeho stran:

Plocha enegon = (9/4) d ² tan (70 °) = 6.1818 d ²

Okraj pravidelného enegonu znal jeho stranu

Obvod polygonu je součtem jeho stran. V případě enegonu, protože každá jedna ze stran měří délku d, jeho obvod bude součet devítinásobku d, to je:

Obvod = 9 d

Obvod enegonu zná jeho poloměr

S ohledem na pravoúhlý trojúhelník OJE v J (viz obrázek 2) se použije trigonometrický kosinusový poměr:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Odkud se získává:

d = 2r cos (70º)

Nahrazením tohoto výsledku získáme vzorec pro obvod jako funkci poloměru enegonu:

Obvod = 9 d = 18 r cos (70 °) = 6,1564 r

Jak si vyrobit pravidelný enegon

1 - Chcete-li postavit pravidelný eneagon, s pravítkem a kompasem, začněte od obvodu c, který ohraničuje eneagon. (viz obrázek 3)

2- Středem O obvodu jsou nakresleny dvě kolmé čáry. Poté jsou průsečíky A a B jedné z čar označeny obvodem.

3 - S kompasem vystředěným na průsečíku B a otvorem rovným poloměru BO se nakreslí oblouk, který zachytí původní obvod v bodě C.

Obrázek 3. Kroky k vytvoření pravidelného enegonu. (Vlastní zpracování)

4 - Předchozí krok se opakuje, ale při vytvoření středu v A a poloměru AO se nakreslí oblouk, který zachytí obvod c v bodě E.

5- S otevřením střídavého proudu a středem v A se nakreslí oblouk obvodu. Podobně s otevřením BE a středem B se nakreslí další oblouk. Průsečík těchto dvou oblouků je označen jako bod G.

6- Při vytvoření středu v G a otevření GA se nakreslí oblouk, který zachycuje sekundární osu (v tomto případě horizontální) v bodě H. Průnik sekundární osy s původním obvodem c je označen jako I.

7- Délka segmentu IH je stejná jako délka d na straně enegonu.

8- Při otevření kompasu IH = d se oblouky poloměru A střed A, střed AK J, střed KL poloměr KL a poloměr L střed LP nakreslují postupně.

9 - Podobně, od A a z pravé strany, jsou nakresleny oblouky poloměru IH = d, které označují body M, N, C a Q na původním obvodu c.

10- Nakonec jsou nakresleny segmenty AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ a nakonec PB.

Je třeba poznamenat, že způsob konstrukce není úplně přesný, protože lze ověřit, že poslední strana PB je o 0,7% delší než ostatní strany. K dnešnímu dni neexistuje žádná známá metoda konstrukce s pravítkem a kompasem, která je 100% přesná.

Příklady

Zde je několik propracovaných příkladů.

Příklad 1

Chceme postavit pravidelný enegon, jehož strany měří 2 cm. Jaký poloměr musí mít obvod, který jej ohraničuje, aby se při použití výše popsané konstrukce dosáhlo požadovaného výsledku?

V předchozí sekci byl odvozen vzorec, který uvádí poloměr r ohraničené kružnice se stranou d pravidelného enegonu:

d = 2r cos (70º)

Řešení pro r z předchozího výrazu máme:

r = d / (2 cos (70 °)) = 1,4619 * d

Nahrazením hodnoty d = 2 cm v předchozím vzorci se získá poloměr r 2,92 cm.

Příklad 2

Jaká je oblast pravidelného enegonu se stranou 2 cm?

Abychom na tuto otázku odpověděli, musíme se odvolat na výše uvedený vzorec, který nám umožňuje najít oblast známého enegonu podle délky d jeho strany: