CHYBA VZORKOVÁNÍ: VZORCE A ROVNICE, VÝPOČET, PŘÍKLADY - DUDAS - 2025

Vzorkování chyby nebo vzorkování chyba ve statistikách je rozdíl mezi průměrnou hodnotou vzorku a střední hodnota z celkové populace. Pro ilustraci této myšlenky si představme, že celková populace města je jeden milion lidí, z nichž chcete jeho průměrnou velikost boty, pro kterou je odebrán náhodný vzorek tisíc lidí.

Průměrná velikost, která vychází ze vzorku, se nemusí nutně shodovat s velikostí celé populace, i když není-li vzorek zkreslený, musí být hodnota blízká. Tento rozdíl mezi střední hodnotou vzorku a hodnotou celkové populace je chybou vzorkování.

Obrázek 1. Protože vzorek je podmnožinou celkové populace, průměr vzorku má meze chyby. Zdroj: F. Zapata.

Průměrná hodnota celkové populace je obecně neznámá, existují však techniky, jak tuto chybu redukovat, a vzorce pro odhad marže chyby vzorkování, která bude popsána v tomto článku.

Vzorce a rovnice

Řekněme, že chceme znát průměrnou hodnotu určité měřitelné charakteristiky x v populaci velikosti N, ale protože N je velké množství, není možné provést studii o celkové populaci, pak přistoupíme k náhodnému výběru vzorku velikost n <

Střední hodnota vzorku je označena a střední hodnota celkové populace je označena řeckým písmenem μ (přečteno mu nebo miu).

Předpokládejme, že m vzorky jsou odebrány z celkové populace N, všechny stejné velikosti n se středními hodnotami 1>, 2>, 3>,….m>.

Tyto střední hodnoty nebudou navzájem identické a budou se pohybovat kolem průměrné hodnoty μ μ. Rozpětí chyby vzorkování E označuje očekávané oddělení středních hodnot vzhledem k průměrné hodnotě populace μ v rámci specifického procenta nazývaného úroveň spolehlivosti γ (gama).

Standardní chybová chyba ε vzorku velikosti n je:

ε = σ / √n

kde σ je standardní odchylka (druhá odmocnina rozptylu), která se vypočítá pomocí následujícího vzorce:

σ = √

Význam standardní chybové chyby ε je následující:

Průměrná hodnota získaný vzorkem o velikosti n je zahrnut do intervalu ( - ε, + ε) s úrovní spolehlivosti 68,3%.

Jak vypočítat chybu vzorkování

V předchozí části byl uveden vzorec pro nalezení standardní chyby chyby vzorku velikosti n, kde slovo standard označuje, že se jedná o chybu chyby se spolehlivostí 68%.

To znamená, že pokud bylo odebráno mnoho vzorků stejné velikosti n, 68% z nich poskytne střední hodnoty v dosahu.

Existuje jednoduché pravidlo, nazývané pravidlo 68-95-99.7, které nám umožňuje snadno najít mezní odchylku vzorkování E pro úrovně spolehlivosti 68%, 95% a 99,7%, protože tento limit je 1⋅ ε, 2 ⋅ ε a 3⋅ ε.

Pro jistotu

Pokud úroveň spolehlivosti γ není jedna z výše uvedených, pak je vzorkovací chybou standardní odchylka σ násobená faktorem Zγ, který se získá následujícím postupem:

1.- Nejprve se stanoví hladina významnosti α, která se vypočítá z úrovně spolehlivosti γ pomocí následujícího vztahu: α = 1 - γ

2.- Pak musíme vypočítat hodnotu 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, která odpovídá nashromážděné normální frekvenci mezi -∞ a Zy, v normálním nebo gaussovském rozdělení typizovaném F (z), jehož definice je vidět na obrázku 2.

3.- Rovnice F (Zγ) = 1 - α / 2 je řešena pomocí tabulek normálního (kumulativního) rozdělení F, nebo pomocí počítačové aplikace, která má inverzní standardizovanou Gaussovu funkci F ^-1.

V druhém případě máme:

Zy = G- ¹ (1 - a / 2).

4.- Nakonec se tento vzorec použije pro chybu vzorkování s úrovní spolehlivosti γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

Obrázek 2. Tabulka normálního rozdělení. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklady

- Příklad 1

Vypočítejte standardní chybový rozpětí ve střední hmotnosti vzorku 100 novorozenců. Výpočet průměrné hmotnosti byl= 3 100 kg se standardní odchylkou σ = 1 500 kg.

Řešení

Standardní odchylka chyby je ε = σ / √n = (1 500 kg) / 100 = 0,15 kg. To znamená, že na základě těchto údajů lze odvodit, že hmotnost 68% novorozenců je mezi 2 950 kg a 3,25 kg.

- Příklad 2

Stanovte rozpětí chyby vzorkování E a hmotnostního rozmezí 100 novorozenců s 95% hladinou spolehlivosti, pokud je průměrná hmotnost 3 100 kg se standardní odchylkou σ = 1 500 kg.

Řešení

Pokud se použije pravidlo 68; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2 ε; 3⋅ ε, máme:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Jinými slovy, 95% novorozenců bude mít hmotnost mezi 2 800 kg a 3 400 kg.

- Příklad 3

Stanovte rozsah hmotností novorozenců v příkladu 1 s 99,7% mírou spolehlivosti.

Řešení

Chyba vzorkování s 99,7% spolehlivostí je 3 σ / √n, což je v našem příkladu E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Odtud vyplývá, že 99,7% novorozenců bude mít hmotnost mezi 2 650 kg a 3 550 kg.

- Příklad 4

Určete faktor Zγ pro hladinu spolehlivosti 75%. Určete rozpětí chyby vzorkování s touto úrovní spolehlivosti pro případ uvedený v příkladu 1.

Řešení

Úroveň spolehlivosti je γ = 75% = 0,75, což souvisí s hladinou významnosti α prostřednictvím vztahu γ = (1 - α), takže hladina významnosti je α = 1 - 0,75 = 0, 25.

To znamená, že kumulativní normální pravděpodobnost mezi -∞ a Zγ je:

P (Z <Zy) = 1 - 0,125 = 0,875

Což odpovídá hodnotě Zy 1,1503, jak je znázorněno na obrázku 3.

Obrázek 3. Stanovení faktoru Zγ odpovídající úrovni spolehlivosti 75%. Zdroj: F. Zapata přes Geogebra.

Jinými slovy, chyba vzorkování je E = Zy ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Při použití na data z příkladu 1 dává chybu:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

S úrovní spolehlivosti 75%.

- Cvičení 5

Jaká je úroveň spolehlivosti, pokud Z _{α / 2} = 2,4?

Řešení

P (Z ≤ Z _{α / 2}) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Úroveň významnosti je:

a = 0,0164 = 1,64%

A konečně úroveň spolehlivosti zůstává:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Reference

1. Canavos, G. 1988. Pravděpodobnost a statistika: Aplikace a metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědu. 8. Edice. Cengage.
3. Levin, R. 1988. Statistiky pro administrátory. 2. Edice. Prentice Hall.
4. Sudman, S. 1982. Kladení otázek: Praktický průvodce návrhem dotazníku. San Francisco. Jossey Bass.
5. Walpole, R. 2007. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědy. Pearson.
6. Wonnacott, TH a RJ Wonnacott. 1990. Úvodní statistika. 5. ed. Wiley
7. Wikipedia. Chyba vzorkování. Obnoveno z: en.wikipedia.com
8. Wikipedia. Rozpětí chyby. Obnoveno z: en.wikipedia.com