Vektorový prostor je neprázdná množina V = { u, v, w,……}, jejíž prvky jsou vektory. S nimi se provádějí některé důležité operace, mezi nimiž vynikají následující:

- součet mezi dvěma vektory u + v vyplývající z, který patří do nastavené V.

- násobení reálného čísla alfa vektorem V: α v dává jiný vektor, a patří do V.

Umělecké vidění vektorového prostoru. Zdroj: Pixabay

Pro označení vektoru používáme tučně (v je vektor) a pro skaláry nebo čísla řecká písmena (α je číslo).

Axiomy a vlastnosti

Aby byl dán vektorový prostor, musí obsahovat následujících osm axiomů:

1-komutabilita: u + v = v + u

2-Transitivita: (u + v) + w = u + (v + w)

3-Existence nulového vektoru 0 tak, že 0 + v = v

4-Existence opaku: opak v je (- v), protože v + (- v) = 0

5-Distributivita produktu vzhledem k součtu vektorů: α (u + v) = α u + α v

6-Distributivita produktu vzhledem k skalárnímu součtu: (a + β) v = α v + β v

7-Asociativita skalárního produktu: α (β v) = (α β) v

8 - Číslo 1 je neutrální prvek, protože: 1 v = v

Příklady vektorových prostorů

Příklad 1

Vektory v rovině (R²) jsou příkladem vektorového prostoru. Vektor v rovině je geometrický objekt, který má velikost a směr. Je reprezentován orientovaným segmentem, který patří do uvedené roviny a jehož velikost je úměrná jeho velikosti.

Součet dvou vektorů v rovině lze definovat jako operaci geometrického překladu druhého vektoru po prvním. Výsledkem součtu je orientovaný segment, který začíná od počátku prvního a dosahuje vrcholu druhého.

Na obrázku je vidět, že suma v R2 je komutativní.

Obrázek 2. Vektory v rovině tvoří vektorový prostor. Zdroj: vlastní výroba.

Rovněž je definován produkt čísla a a vektoru. Pokud je číslo kladné, bude zachován směr původního vektoru a velikost je α násobkem původního vektoru. Pokud je číslo záporné, směr je opačný a velikost výsledného vektoru je absolutní hodnotou čísla.

Vektor naproti jakémukoli vektoru v je - v = (- 1) v.

Nulový vektor je bod v rovině R2 a nulové číslo, které vektor dává nulovému vektoru.

Vše, co bylo řečeno, je znázorněno na obrázku 2.

Příklad 2

Sada P všech polynomů stupně nižších nebo rovných dvěma, včetně stupně nula, tvoří množinu, která splňuje všechny axiomy vektorového prostoru.

Nechť polynom P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Součet dvou polynomů je definován: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Součet polynomů patřících do množiny P je komutativní a tranzitivní.

Nulový polynom patřící do množiny P je takový, který má všechny své koeficienty rovné nule:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Součet skalárního α polynomem je definován jako: αP (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Opačný polynom P (x) je -P (x) = (-1) P (x).

Z výše uvedeného vyplývá, že množina P všech polynomů stupně nižších nebo rovných dvěma je vektorovým prostorem.

Příklad 3

Sada M všech matic řádků xn sloupců, jejichž prvky jsou reálná čísla, tvoří skutečný vektorový prostor, s ohledem na operace sčítání matic a součinu čísla maticí.

Příklad 4

Soubor F spojitých funkcí reálné proměnné tvoří vektorový prostor, protože je možné definovat součet dvou funkcí, násobení skaláru funkcí, nulovou funkci a symetrickou funkci. Splňují také axiomy, které charakterizují vektorový prostor.

Základna a rozměr vektorového prostoru

Základna

Základ vektorového prostoru je definován jako sada lineárně nezávislých vektorů tak, že z jejich lineární kombinace může být vytvořen libovolný vektor tohoto vektorového prostoru.

Lineární kombinace dvou nebo více vektorů spočívá v násobení vektorů nějakým skalárem a jejich přidání vektorem.

Například ve vektorovém prostoru vektorů ve třech rozměrech tvořených R3 se používá kanonický základ definovaný jednotkovými vektory (velikost 1) i, j, k.

Kde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Jsou to kartézské nebo kanonické vektory.

Jakýkoli vektor V patřící do R3 je zapsán jako V = a i + b j + c k, což je lineární kombinace základních vektorů i, j, k. Skalární nebo čísla a, b, c jsou známy jako kartézských složek V.

Také se říká, že základní vektory vektorového prostoru tvoří generátorovou sadu vektorového prostoru.

Dimenze

Dimenze vektorového prostoru je hlavní číslo vektorového základu pro tento prostor; to znamená počet vektorů, které tvoří uvedenou bázi.

Tento kardinál je maximální počet lineárně nezávislých vektorů tohoto vektorového prostoru a zároveň minimální počet vektorů, které tvoří generátorovou sadu tohoto prostoru.

Základny vektorového prostoru nejsou jedinečné, ale všechny základny stejného vektorového prostoru mají stejnou dimenzi.

Vektorový podprostor

Vektorový podprostor S vektorového prostoru V je podmnožinou V, ve které jsou stejné operace definovány jako ve V a splňují všechny axiomy vektorového prostoru. Proto bude podprostorem S také vektorový prostor.

Příkladem vektorového podprostoru jsou vektory, které patří do roviny XY. Tento podprostor je podmnožina vektorového prostoru dimenzionality větší než sada vektorů patřících do trojrozměrného prostoru XYZ.

Další příklad vektorového podprostoru S1 vektorového prostoru S tvořeného všemi maticemi 2 × 2 se skutečnými prvky je definován níže:

Na druhé straně, S2 definovaný níže, ačkoli je to podskupina S, netvoří vektorový podprostor:

Řešená cvičení

-Cvičení 1

Nechť vektory V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) a V3 = (0, 0, 3) v R3.

a) Ukažte, že jsou lineárně nezávislé.

b) Ukažte, že tvoří základ v R3, protože jakoukoli trojici (x, y, z) lze napsat jako lineární kombinaci V1, V2, V3.

c) Najděte komponenty trojnásobku V = (-3,5,4) v základně V1, V2, V3.

Řešení

Kritérium pro prokázání lineární nezávislosti spočívá ve stanovení následující sady rovnic v α, β a γ

a (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + y (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

V případě, že jediným řešením tohoto systému je a = β = γ = 0, jsou vektory lineárně nezávislé, jinak nejsou.

Pro získání hodnot α, β a γ navrhujeme následující soustavu rovnic:

a ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

a ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

a ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

První vede k a = 0, druhé a = -2 ∙ β, ale od α = 0, pak β = 0. Třetí rovnice znamená, že γ = (- 1/3) β, ale protože β = 0, pak γ = 0.

Odpovědět

Došlo se k závěru, že se jedná o množinu lineárně nezávislých vektorů v R3.

Odpověď b

Nyní napíšeme trojici (x, y, z) jako lineární kombinaci V1, V2, V3.

(x, y, z) = a V1 + P V2 + y V3 = a (1, 1, 0) + P (0, 2, 1) + y (0, 0, 3)

a ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

a ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

a ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Kde máš:

a = x

a + 2 β = y

p + 3 γ = z

První označuje a = x, druhý p = (yx) / 2 a třetí y = (z-y / 2 + x / 2) / 3. Tímto způsobem jsme našli generátory a, β a γ jakéhokoli tripletu R3

Odpověď c

Pojďme najít komponenty trojice V = (-3,5,4) v základně V1, V2, V3.

Nahrazujeme odpovídající hodnoty ve výše uvedených výrazech generátory.

V tomto případě máme: α = -3; p = (5 - (- 3)) / 2 = 4; y = (4-5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

To je:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Do poslední:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Došli jsme k závěru, že V1, V2, V3 tvoří základ ve vektorovém prostoru R3 dimenze 3.

- Cvičení 2

Vyjádřete polynom P (t) = t2 + 4t -3 jako lineární kombinaci P1 (t) = t2 -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t a P3 (t) = t + 3.

Řešení

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

kde se mají určit čísla x, y, z.

Vynásobením a seskupením termínů se stejným stupněm vt získáme:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Což nás vede k následujícímu systému rovnic:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Řešení tohoto systému rovnic jsou:

x = -3, y = 2, z = 4.

To je:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- Cvičení 3

Ukažte, že vektory v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) a v3 = (2, 1, -1, 1) R5 jsou lineárně nezávislé.

Řešení

Lineárně kombinujeme tři vektory v1, v2, v3 a požadujeme, aby kombinace přidala nulový prvek R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

To znamená, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

To nás vede k následujícímu systému rovnic:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Odečtením první a čtvrté máme: -a + c = 0, což znamená a = c.

Ale když se podíváme na třetí rovnici, máme to a = -c. Jediný způsob, jak a = c = (- c) platí, je, že c je 0, a proto a bude také 0.

a = c = 0

Pokud tento výsledek zapojíme do první rovnice, usoudíme, že b = 0.

Nakonec a = b = c = 0, takže lze učinit závěr, že vektory v1, v2 a v3 jsou lineárně nezávislé.

Reference

1. Lipschutz, S. 1993. Lineární algebra. Druhé vydání. McGraw-Hill. 167-198.