MATEMATICKÉ OČEKÁVÁNÍ: VZOREC, VLASTNOSTI, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - DUDAS - 2025

Matematické očekávání nebo očekávaná hodnota náhodné veličiny X, se označuje jako E (X), a je definována jako součet součinu pravděpodobnosti náhodné události, která nastala a hodnoty uvedené události.

V matematické podobě je vyjádřeno takto:

Obrázek 1. Matematické očekávání je široce používáno na akciovém trhu a v pojišťovnictví. Zdroj: Pixabay.

Kde x _i je hodnota události a P (x _i) její pravděpodobnost výskytu. Sumace se rozprostírá přes všechny hodnoty, které připouští X. A pokud jsou konečné, indikovaná suma konverguje k hodnotě E (X), ale pokud se součet nekonverguje, proměnná jednoduše nemá očekávanou hodnotu.

Když je to spojitá proměnná x, proměnná může mít nekonečné hodnoty a integrály nahrazují součty:

Zde f (x) představuje funkci hustoty pravděpodobnosti.

Obecně platí, že matematické očekávání (což je vážený průměr) se nerovná aritmetickému průměru nebo průměru, pokud se nezabýváme diskrétními distribucemi, ve kterých je každá událost stejně pravděpodobná. Pak a teprve poté:

Kde n je počet možných hodnot.

Koncept je velmi užitečný na finančních trzích a pojišťovnách, kde jistoty často chybí, ale existují pravděpodobnosti.

Vlastnosti matematického očekávání

Mezi nejdůležitější vlastnosti matematického očekávání vynikají:

- Znaménko: pokud X je kladné, pak E (X) bude také pozitivní.

- Očekávaná hodnota konstanty: očekávaná hodnota skutečné konstanty k je konstanta.

- Linearita v součtu: očekávání náhodné proměnné, která je zase součtem dvou proměnných X a Y je součtem očekávání.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Násobení konstantou: je-li náhodná proměnná ve tvaru kX, kde k je konstanta (reálné číslo), vyjde mimo očekávanou hodnotu.

- Očekávaná hodnota produktu a nezávislost mezi proměnnými: Pokud je náhodná proměnná součinem náhodných proměnných X a Y, které jsou nezávislé, pak je očekávaná hodnota produktu součinem očekávaných hodnot.

Obecně platí, že pokud Y = g (X):

- Pořadí v očekávané hodnotě: pokud X ≤ Y, pak:

Protože existují očekávané hodnoty každé z nich.

Matematické očekávání sázení

Když slavný astronom Christian Huygens (1629-1695) nepozoroval nebe, věnoval se mimo jiné zkoumání pravděpodobnosti hazardních her. Byl to on, kdo představil koncept matematické naděje ve své práci z roku 1656 nazvané: Zdůvodnění hazardních her.

Obrázek 2. Christiaan Huygens (1629-1625) byl geniální a všestranný vědec, kterému dlužíme koncept očekávané hodnoty.

Huygens zjistil, že sázky lze klasifikovat třemi způsoby na základě očekávané hodnoty:

-Hry s výhodou: E (X)> 0

- Férové ​​sázky: E (X) = 0

- Nevýhoda hry: E (X) <0

Problém je v tom, že v hazardní hře není vždy snadné vypočítat matematické očekávání. A když je to možné, výsledek je někdy zklamáním pro ty, kteří se zajímají, zda vsadit či ne.

Vyzkoušejte jednoduchou sázku: hlavy nebo ocasy a poražený platí kávu 1 $. Jaká je očekávaná hodnota této sázky?

Pravděpodobnost válcování hlav je ½, rovná se ocasem. Náhodná proměnná je získat $ 1 nebo ztratit $ 1, zisk je označen znaménkem + a ztráta znaménkem -.

Informace uspořádáme do tabulky:

Vynásobíme hodnoty sloupců: 1. ½ = ½ a (-1). ½ = -½ a nakonec se přidají výsledky. Součet je 0 a je to férová hra, ve které se očekává, že účastníci nevyhrají ani prohrají.

Francouzská ruleta a loterie jsou handicapové hry, ve kterých většina sázejících prohraje. Později je v sekci řešených cvičení o něco složitější sázka.

Příklady

Zde je několik jednoduchých příkladů, kde je koncept matematického očekávání intuitivní a objasňuje ho:

Příklad 1

Začneme tím, že hodíme upřímnou zemřít. Jaká je očekávaná hodnota spuštění? Pokud je zápustka čestná a má 6 hlav, pravděpodobnost, že se některá hodnota (X = 1, 2, 3… 6) hodí, je 1/6, jako je tato:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

Obrázek 3. V roli čestné matrice není očekávaná hodnota možná. Zdroj: Pixabay.

Očekávaná hodnota je v tomto případě rovna průměru, protože každá tvář má stejnou pravděpodobnost, že vyjde. Ale E (X) není možná hodnota, protože žádné hlavy nemají hodnotu 3,5. To je v některých distribucích naprosto možné, i když v tomto případě výsledek bettorovi moc nepomůže.

Podívejme se na další příklad s hodem dvou mincí.

Příklad 2

Dvě poctivé mince se vyhodí do vzduchu a definujeme náhodnou proměnnou X jako počet hlav, které se válí. Události, které mohou nastat, jsou následující:

-Ne hlavy přijít: 0 hlav, což se rovná 2 ocasy.

- Vyjde 1 hlava a 1 razítko nebo kříž.

- Dvě tváře vyjdou.

Nechť C je hlava a T těsnění, ukázkový prostor, který popisuje tyto události, je následující:

S _m = {Seal-Seal; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Pravděpodobnost událostí se stane:

P (X = 0) = P (T), P (T) = 1/2. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C), P (C) = 1/2. ½ = ¼

Tabulka je sestavena se získanými hodnotami:

Podle definice uvedené na začátku se matematické očekávání počítá jako:

Náhradní hodnoty:

E (X) = 0. ¼ + 1. + + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Tento výsledek je interpretován následovně: pokud má člověk dostatek času na to, aby provedl velké množství experimentů s hodením dvou mincí, očekává se, že dostane hlavu na každý hod.

Víme však, že vydání se 2 štítky jsou naprosto možné.

Cvičení vyřešeno

V házení dvou poctivých mincí se provede následující sázka: Pokud vyjdou 2 hlavy, vyhrajete 3 $, pokud 1 hlava vyjde, vyhrajete 1 $, ale pokud vyjdou dvě razítka, musíte zaplatit 5 $. Vypočítejte očekávané vítězství sázky.

Obrázek 4. V závislosti na sázce se matematické očekávání mění, když hodí dvě poctivé mince. Zdroj: Pixabay.

Řešení

Náhodná proměnná X je hodnota, kterou peníze berou v sázce a pravděpodobnosti byly vypočteny v předchozím příkladu, proto tabulka sázky je:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Protože očekávaná hodnota je 0, jedná se o férovou hru, takže se zde očekává, že bettor nevyhraje ani neztratí. Částky sázek však mohou být změněny tak, aby se sázka stala hendikepovou hrou nebo hendikepovou hrou.

Reference

1. Brase, C. 2009. Pochopitelná statistika. Houghton Mifflin.
2. Olmedo, F. Úvod do pojmu očekávané hodnoty nebo matematického očekávání náhodné proměnné. Obnoveno z: personal.us.es.
3. Statistiky LibreTexts. Očekávaná hodnota diskrétních náhodných proměnných. Obnoveno z: statistics.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementární statistika. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Pravděpodobnost a statistika pro vědu a techniku. 8. Edice. Pearsonovo vzdělávání.