ČÁSTEČNÉ ZLOMKY: PŘÍPADY A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Tyto dílčí frakce jsou frakce tvořené polynomů, ve kterém je jmenovatel mohou být lineární nebo kvadratickou polynomiální, a kromě toho může být zvýšena na energii. Někdy, když máme racionální funkce, je velmi užitečné přepsat tuto funkci jako součet dílčích zlomků nebo jednoduchých zlomků.

Je tomu tak proto, že tímto způsobem můžeme manipulovat s těmito funkcemi lépe, zejména v případech, kdy je nutné uvedenou aplikaci integrovat. Racionální funkce je prostě kvocient mezi dvěma polynomy a mohou být správné nebo nesprávné.

Pokud je stupeň polynomu čitatele menší než jmenovatel, nazývá se racionální správnou funkcí; jinak je znám jako nesprávná racionální funkce.

Definice

Pokud máme nepřiměřenou racionální funkci, můžeme dělit polynomy čitatele polynomem jmenovatele, a tak přepsat zlomek p (x) / q (x), a to podle algoritmu dělení jako t (x) + s (x) / q (x), kde t (x) je polynom a s (x) / q (x) je správná racionální funkce.

Částečná zlomek je jakákoli správná funkce polynomů, jejichž jmenovatel má tvar (ax + b) ⁿ nebo (ax ² + bx + c) ⁿ, pokud polynomiální sekera ² + bx + c nemá skutečné kořeny a n je číslo přírodní.

Aby bylo možné přepsat racionální funkci v dílčích zlomcích, první věcí, kterou musíte udělat, je faktor jmenovatel q (x) jako součin lineárních a / nebo kvadratických faktorů. Jakmile je to hotovo, jsou stanoveny dílčí frakce, které závisí na povaze těchto faktorů.

Případy

Několik případů posuzujeme samostatně.

Případ 1

Faktory q (x) jsou lineární a žádný se neopakuje. To znamená:

q (x) = (a ₁ x + b ₁) (a ₂ x + b ₂)… (a _s x + b _s)

Neexistuje žádný lineární faktor totožný s jiným. Když nastane tento případ, napíšeme:

p (x) / q (x) = a ₁ / (a ₁ x + b ₁) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂)… + A _s / (a _s x + b _y).

Kde A ₁, A ₂,…, a _to jsou konstanty, které mají být nalezeny.

Příklad

Chceme rozložit racionální funkci na jednoduché zlomky:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Přistoupíme k jmenovateli, který je:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Pak:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Použitím nejméně obyčejného násobku lze získat, že:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Chceme získat hodnoty konstant A, B a C, které lze nalézt nahrazením kořenů, které ruší každý z výrazů. Náhradou 0 za x máme:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Nahrazování - 1 za x máme:

- 1 - 1 = A (-1 + 1) (-1 + 2) + B (-1 + 2) (-1) + C (-1 + 1) (-1).

- 2 = - B

B = 2.

Nahrazování - 2 za x máme:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = –3/2.

Tímto způsobem se získají hodnoty A = -1/2, B = 2 a C = -3/2.

Existuje jiná metoda pro získání hodnot A, B a C. Pokud na pravé straně rovnice x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x kombinujeme termíny, máme:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Protože se jedná o rovnoprávnost polynomů, máme koeficienty na levé straně stejné jako koeficienty na pravé straně. Výsledkem je následující systém rovnic:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = -1

Řešením tohoto systému rovnic získáme výsledky A = –1/2, B = 2 a C = -3/2.

Nakonec, nahrazením získaných hodnot, máme následující:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Případ 2

Faktory q (x) jsou lineární a některé se opakují. Předpokládejme, že (ax + b) je faktor, který opakuje časy „s“; pak tomuto faktoru odpovídá součet dílčích zlomků.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Kde A _s, A _s-1,…, A ₁ jsou konstanty, které mají být určeny. V následujícím příkladu ukážeme, jak tyto konstanty určit.

Příklad

Rozložte se na dílčí zlomky:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³)

Racionální funkci píšeme jako součet dílčích zlomků takto:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2)).

Pak:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Nahrazením 2 za x máme následující:

7 = 4C, tj. C = 7/4.

Náhradou 0 za x máme:

- 1 = –8A nebo A = 1/8.

Nahrazením těchto hodnot v předchozí rovnici a vývojem máme následující:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Rovnocennými koeficienty získáme následující systém rovnic:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Při řešení systému máme:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Za tímto účelem musíme:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Případ 3

Faktory q (x) jsou lineární kvadratické, bez jakýchkoli opakovaných kvadratických faktorů. V tomto případě bude kvadratický faktor (ax ² + bx + c) odpovídat dílčímu zlomku (Ax + B) / (ax ² + bx + c), kde jsou určovány konstanty A a B.

Následující příklad ukazuje, jak v tomto případě postupovat

Příklad

Rozložte na jednoduché frakce a (x + 1) / (x ³ - 1).

Nejprve přistoupíme k jmenování jmenovatele, což nám v důsledku dává:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Můžeme pozorovat, že (x ² + x + 1) je neredukovatelný kvadratický polynom; to znamená, že nemá skutečné kořeny. Jeho rozklad na dílčí zlomky bude následující:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Z toho získáme následující rovnici:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Použitím rovnosti polynomů získáme následující systém:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Z tohoto systému máme, že A = 2/3, B = - 2/3 a C = 1/3. Nahrazení máme:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Případ 4

Konečně, případ 4 je ten, ve kterém jsou faktory q (x) lineární a kvadratické, kde se některé lineární kvadratické faktory opakují.

V tomto případě, pokud (ax ² + bx + c) je kvadratický faktor, který opakuje časy „s“, pak částečná frakce odpovídající faktoru (ax ² + bx + c) bude:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s) / (ax ² + bx + c) ^s

Kde A _s, A _s-1,…, A a B _s, B _s-1,…, B jsou konstanty, které mají být určeny.

Příklad

Chceme rozložit následující racionální funkci na dílčí zlomky:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²)

Protože x ² - 4x + 5 je neredukovatelný kvadratický faktor, je jeho rozklad na dílčí zlomky dán:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Zjednodušení a rozvoj, máme:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Z výše uvedeného máme následující systém rovnic:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Při řešení systému nám zbývá:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 a E = - 3/5.

Nahrazením získaných hodnot máme:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ²⁾ - 4x + 5) ²

Aplikace

Integrální počet

Částečné frakce se používají především pro studium integrálního počtu. Zde je několik příkladů, jak provádět integrály pomocí částečných zlomků.

Příklad 1

Chceme vypočítat integrál:

Vidíme, že jmenovatel q (x) = (t + 2) ² (t + 1) se skládá z lineárních faktorů, kde se jeden z nich opakuje; Proto jsme v případě 2.

Musíme:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Přepíšeme rovnici a máme:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Pokud t = - 1, máme:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Pokud t = - 2, dává nám to:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = -1

Pak, pokud t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Nahrazení hodnot A a C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Z výše uvedeného máme, že B = - 1.

Integrál přepíšeme takto:

Pokračujeme v jeho řešení substituční metodou:

To je výsledek:

Příklad 2

Vyřešte následující integrál:

V tomto případě můžeme faktor aq (x) = x ² - 4 jako q (x) = (x - 2) (x + 2). Jednoznačně jsme v případě 1. Proto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

To může také být vyjádřeno jako:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Pokud x = - 2, máme:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

A pokud x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Zůstáváme tedy s řešením daného integrálu jako s řešením:

Výsledkem je:

Příklad 3

Vyřešte integrál:

Máme q (x) = 9x ⁴ + x ², které můžeme započítat do q (x) = x ² (9x ² + 1).

Tentokrát máme opakovaný lineární faktor a kvadratický faktor; to znamená, že jsme v případě 3.

Musíme:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Seskupení a použití stejných polynomů máme:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Z tohoto systému rovnic máme:

D = - 9 a C = 0

Tímto způsobem máme:

Vyřešením výše uvedeného máme:

Zákon hromadné akce

Zajímavé použití dílčích frakcí aplikovaných na integrální počet se nachází v chemii, přesněji v zákoně masové akce.

Předpokládejme, že máme dvě látky, A a B, které se spojují a tvoří látku C, takže derivát množství C s ohledem na čas je úměrný součinu množství A a B v daném okamžiku.

Zákon o hromadném jednání můžeme vyjádřit takto:

V tomto výrazu a je počáteční počet gramů odpovídající A a p počáteční počet gramů odpovídající B.

Dále r a s představují počet gramů A a B, které se kombinují za vzniku r + s gramů C. Pro svou část x představuje počet gramů látky C v čase t a K je konstanta proporcionality. Výše uvedená rovnice může být přepsána jako:

Provedení následující změny:

Máme tu rovnici:

Z tohoto výrazu můžeme získat:

Kde a, b, mohou být pro integraci použity dílčí zlomky.

Příklad

Vezměme například látku C, která vzniká spojením látky A s B takovým způsobem, že masové právo je splněno, pokud hodnoty a a b jsou 8 a 6. Dejte rovnici, která nám dává hodnotu gramů C jako funkci času.

Nahrazením hodnot v daném masovém zákoně máme:

Při oddělování proměnných máme:

Zde 1 / (8 - x) (6 - x) lze psát jako součet dílčích zlomků takto:

1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Pokud nahradíme 6 za x, máme B = 1/2; a nahrazením 8 za x máme A = - 1/2.

Integraci částečnými zlomky máme:

Výsledkem je:

Diferenciální rovnice: logistická rovnice

Další aplikace, kterou lze použít pro dílčí zlomky, je v logistické diferenciální rovnici. V jednoduchých modelech máme, že rychlost růstu populace je úměrná její velikosti; to znamená:

Tento případ je ideální a považuje se za realistický, dokud se nestane, že zdroje dostupné v systému nejsou dostatečné pro podporu populace.

V těchto situacích je nejrozumnější věc myslet si, že existuje maximální kapacita, kterou nazýváme L, kterou systém dokáže udržet, a že rychlost růstu je úměrná velikosti populace vynásobené dostupnou velikostí. Tento argument vede k následující diferenciální rovnici:

Tento výraz se nazývá logistická diferenciální rovnice. Jedná se o oddělitelnou diferenciální rovnici, kterou lze vyřešit metodou integrace částečné frakce.

Příklad

Příkladem by bylo uvažovat o populaci, která roste podle následující logistické diferenciální rovnice y '= 0,0004y (1000 - y), jejíž počáteční data jsou 400. Chceme znát velikost populace v čase t = 2, kde se měří t v letech.

Pokud píšeme y 's Leibnizovým zápisem jako funkcí, která závisí na t, máme:

Integrál na levé straně lze vyřešit pomocí metody integrace částečné frakce:

Tuto poslední rovnost můžeme přepsat takto:

- Při nahrazení y = 0 máme, že A se rovná 1/1000.

- Při nahrazení y = 1000 máme, že B se rovná 1/1000.

U těchto hodnot je integrál následující:

Řešením je:

Použití počátečních dat:

Při zúčtování máme:

Pak to máme na t = 2:

Závěrem lze říci, že po 2 letech je velikost populace přibližně 597,37.

Reference

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Rada pro publikace.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Vyřešené integrály. Národní experimentální univerzita v Tachire.
3. Leithold, L. (1992). Výpočet s analytickou geometrií. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Výpočet. Mexiko: Pearsonovo vzdělávání.
5. Saenz, J. (nd). Integrální počet. Přepona.