BIJEKTIVNÍ FUNKCE: CO TO JE, JAK SE TO DĚLÁ, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Bijective funkce je taková, která splňuje dvojí podmínku, že injective a surjective. To znamená, že všechny prvky domény mají jeden obraz v codomain, a zase codomain se rovná hodnosti funkce (R _f).

To je splněno zvážením vzájemného vztahu mezi prvky domény a codomény. Jednoduchým příkladem je funkce F: R → R definovaná přímkou F (x) = x

Zdroj: Autor

Je pozorováno, že pro každou hodnotu domény nebo počáteční sady (oba termíny platí stejně) je v kodoméně nebo příchozí sadě jeden obraz. Kromě toho zde není žádný prvek jiné než obraz.

Tímto způsobem F: R → R definovaný přímkou F (x) = x je bijektivní

Jak děláte bijektivní funkci?

Abychom na to odpověděli, je nutné objasnit pojmy týkající se injektivity a overjektivity funkce, jakož i kritéria pro kondicionační funkce, aby bylo možné je přizpůsobit požadavkům.

Injektivita funkce

Funkce je injektivní, když každý z prvků její domény souvisí s jediným prvkem codomainu. Prvek codomény může být pouze obrazem jednoho prvku domény, takže hodnoty závislé proměnné nelze opakovat.

Aby bylo možné zvážit funkční injektáž, musí být splněny následující podmínky:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Přídavnost funkce

Funkce je klasifikována jako surjektivní, pokud je každý prvek její kodomény obrazem alespoň jednoho prvku domény.

Aby bylo možné považovat funkci za přídavnou funkci, musí být splněny následující podmínky:

Nechť F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Toto je algebraický způsob, jak stanovit, že pro každé „b“, které patří do _Cf, existuje „a“, které patří do _Df, takže funkce hodnocená v „a“ je rovna „b“.

Kondicionování funkce

Někdy může být funkce, která není bijektivní, vystavena určitým podmínkám. Tyto nové podmínky z něj mohou učinit bijektivní funkci. Platí všechny druhy modifikací domény a codomény funkce, přičemž cílem je splnit vlastnosti injektivity a surjectivity v odpovídajícím vztahu.

Příklady: řešená cvičení

Cvičení 1

Nechť je funkce F: R → R definována přímkou F (x) = 5x +1

A:

Je pozorováno, že pro každou hodnotu domény je v codomainu obraz. Tento obrázek je jedinečná což F prosté zobrazení. Stejně tak pozorujeme, že codomain funkce se rovná její hodnosti. Tím splňuje podmínku surjectivity.

Být injekční a surjektivní současně můžeme dojít k závěru

F: R → R definovaná přímkou F (x) = 5x +1 je bijektivní funkce.

To platí pro všechny lineární funkce (funkce, jejichž nejvyšší stupeň proměnné je jedna).

Cvičení 2

Nechť je funkce F: R → R definována pomocí F (x) = 3x ² - 2

Při kreslení vodorovné čáry se zjistí, že graf je nalezen vícekrát. Z tohoto důvodu funkce F není injektivní, a proto nebude bijektivní, pokud je definována v R → R

Podobně existují hodnoty codomainů, které nejsou obrázky žádného prvku domény. Z tohoto důvodu funkce není adjektivní, což si také zaslouží podmínku sady příjezdů.

Postupujeme k kondicionování domény a codomain funkce

F: →

Tam, kde je pozorováno, že nová doména pokrývá hodnoty od nuly po kladné nekonečno. Vyvarujte se opakování hodnot, které ovlivňují injektivitu.

Stejně tak byla modifikována codoména, počítající od „-2“ do kladné nekonečna, eliminující z codomainu hodnoty, které neodpovídají žádnému prvku domény

Tímto způsobem může být zajištěno, že F : → definováno F (x) = 3x ² - 2

Je to bijektivní

Cvičení 3

Nechť je funkce F: R → R definována pomocí F (x) = Sen (x)

V intervalu sine funkce mění své výsledky mezi nulou a jedním.

Zdroj: Autor.

Funkce F neodpovídá kritériím injektivity a surjectivity, protože hodnoty závislé proměnné se opakují každý interval π. Dále, podmínky codomainu mimo interval nejsou obrazem žádného prvku domény.

Při studiu grafu funkce F (x) = Sen (x) jsou pozorovány intervaly, kde chování křivky splňuje kritéria bijektivity. Jako například interval D _f = pro doménu. A C _f = pro codomain.

Pokud se funkce mění, výsledky jsou od 1 do -1, aniž by se opakovala jakákoli hodnota v závislé proměnné. A současně se codomain rovná hodnotám převzatým výrazem Sen (x)

Funkce F: → definovaná F (x) = Sen (x). Je to bijektivní

Cvičení 4

Uveďte nezbytné podmínky pro D _f a C _f. Takže výraz

F (x) = -x ² je bijektivum.

Zdroj: Autor

Opakování výsledků se pozoruje, když proměnná vezme opačné hodnoty:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Doména je podmíněna omezením na pravou stranu skutečné linie.

D _f =

Stejně tak je pozorováno, že rozsah této funkce je interval, který při působení jako codomain splňuje podmínky surjectivity.

Tímto způsobem můžeme dojít k závěru

Výraz F: → definovaný F (x) = -x ² Je bijektivní

Navrhovaná cvičení

Zkontrolujte, zda jsou následující funkce bijektivní:

F: → R definované pomocí F (x) = 5ctg (x)

F: → R definované F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R definované přímkou F (x) = -5x + 4

Reference

1. Úvod do logického a kritického myšlení. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problémy v matematické analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vratislavská univerzita. Polsko.
3. Prvky abstraktní analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
5. Principy matematické analýzy. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spain.