KONSTANTNÍ FUNKCE: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Funkce konstanta je taková, ve které je hodnota y udržuje konstantní. Jinými slovy: konstantní funkce má vždy tvar f (x) = k, kde k je skutečné číslo.

Při grafu konstantní funkce v souřadném systému xy vždy vzniká přímka rovnoběžná s vodorovnou nebo osou x.

Obrázek 1. Graf několika konstantních funkcí v kartézské rovině. Zdroj: Wikimedia Commons. Uživatel: HiTe

Tato funkce je zvláštním případem afinní funkce, jejíž graf je rovnou čarou, ale se sklonem. Konstantní funkce má nulový sklon, tj. Je to vodorovná čára, jak je vidět na obrázku 1.

Zde je zobrazen graf tří konstantních funkcí:

Všechny jsou linie rovnoběžné s vodorovnou osou, první je pod uvedenou osou, zatímco ostatní jsou nad.

Vlastnosti konstantní funkce

Hlavní charakteristiky konstantní funkce můžeme shrnout následovně:

- Jeho graf je vodorovná přímka.

-Má jedinečný průnik s osou y, což má hodnotu k.

-Je to nepřetržité.

-The doména konstantní funkce (soubor hodnot, které mohou mít x) je množina reálných čísel R.

- Cesta, rozsah nebo čítač domény (sada hodnot, které proměnná y nabývá) je jednoduše konstanta k.

Příklady

Funkce jsou nezbytné k navázání spojení mezi veličinami, které nějakým způsobem závisí na sobě. Vztah mezi nimi lze matematicky modelovat, abychom zjistili, jak se jeden z nich chová, když se liší.

To pomáhá vytvářet modely pro mnoho situací a vytvářet předpovědi o jejich chování a vývoji.

Přes jeho zjevnou jednoduchost má konstantní funkce mnoho aplikací. Například pokud jde o studium veličin, které zůstávají konstantní v průběhu času, nebo alespoň po značnou dobu.

Takto se veličiny chovají v situacích, jako je například následující:

- Cestovní rychlost auta jedoucího po dlouhé rovné dálnici. Pokud nezabrzdíte nebo nezrychlíte, vůz má rovnoměrný přímočarý pohyb.

Obrázek 2. Pokud vůz nebrzdí nebo nezrychlí, má rovnoměrný přímočarý pohyb. Zdroj: Pixabay.

- Plně nabitý kondenzátor odpojený od obvodu má v průběhu času konstantní náboj.

- Konečně, paušální parkoviště udržuje stálou cenu bez ohledu na to, jak dlouho je tam auto zaparkováno.

Další způsob, jak reprezentovat konstantní funkci

Konstantní funkce může být alternativně znázorněna takto:

Protože jakákoli hodnota x zvýšená na 0 má za následek 1, předchozí výraz se zmenší na již známý:

Samozřejmě, že k tomu dojde, pokud je hodnota k odlišná od 0.

Proto je konstantní funkce také klasifikována jako polynomiální funkce stupně 0, protože exponent proměnné x je 0.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Odpovězte na následující otázky:

a) Lze říci, že čára daná x = 4 je konstantní funkce? Odůvodněte svou odpověď.

b) Může mít konstantní funkce průnik x?

c) Je funkce f (x) = w ² konstantní ?

Odpovědět

Zde je graf řádku x = 4:

Obrázek 3. Graf čáry x = 4. Zdroj: F. Zapata.

Linka x = 4 není funkce; z definice je funkce taková, že každá hodnota proměnné x odpovídá jediné hodnotě y. A v tomto případě to není pravda, protože hodnota x = 4 je spojena s nekonečnými hodnotami y. Odpověď tedy zní ne.

Odpověď b

Obecně platí, že konstantní funkce nemá průnik x, pokud není y = 0, v tom případě je to samotná osa x.

Odpověď c

Ano, protože w je konstantní, jeho čtverec je také konstantní. Záleží na tom, že w nezávisí na vstupní proměnné x.

- Cvičení 2

Najděte průnik mezi funkcemi f (x) = 5 ag (x) = 5x - 2

Řešení

Chcete-li najít průnik mezi těmito dvěma funkcemi, lze je přepsat jako:

Jsou vyrovnány a získají:

Jaká je lineární rovnice prvního stupně, jejíž řešení je:

Průsečík je (7/5,5).

- Cvičení 3

Ukažte, že derivace konstantní funkce je 0.

Řešení

Z definice derivátu máme:

Nahrazování v definici:

Dále, pokud uvažujeme o derivátu jako o rychlosti změny dy / dx, konstantní funkce nepodstoupí žádnou změnu, proto je jeho derivace nulová.

- Cvičení 4

Najděte neurčitý integrál f (x) = k.

Řešení

Obrázek 4. Graf funkce v (t) pro mobil cvičení 6. Zdroj: F. Zapata.

Ptá se:

a) Napište výraz pro funkci rychlosti jako funkci času v (t).

b) Najděte vzdálenost ujetou mobilem v časovém intervalu mezi 0 a 9 sekundami.

Řešení

Zobrazený graf ukazuje, že:

- v = 2 m / s v časovém intervalu od 0 do 3 sekund

- Mobil je zastaven na 3 až 5 sekund, protože v tomto intervalu je rychlost 0.

- v = - 3 m / s mezi 5 a 9 sekundami.

Je to příklad funkce po částech nebo funkce po částech, která se skládá z konstantních funkcí a platí pouze pro uvedené časové intervaly. Dospělo se k závěru, že požadovaná funkce je:

B. Řešení

Z grafu v (t) lze vypočítat vzdálenost ujetou mobilem, která je numericky ekvivalentní oblasti pod / na křivce. Takto:

- Vzdálenost se pohybovala mezi 0 a 3 sekundami = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Mezi 3 a 5 sekundami byl zadržen, proto necestoval žádnou vzdálenost.

- Vzdálenost se pohybovala mezi 5 a 9 sekundami = 3 m / s. 4 s = 12 m

Celkově mobil cestoval 18 m. Všimněte si, že ačkoli je rychlost v intervalu 5 až 9 sekund záporná, ujetá vzdálenost je kladná. Stává se, že během tohoto časového intervalu změnil mobilní telefon smysl své rychlosti.

Reference

1. Geogebra. Konstantní funkce. Obnoveno z: geogebra.org.
2. Maplesoft. Konstantní funkce. Obnoveno z: maplesoft.com.
3. Wikibooky. Výpočet v proměnné / Funkce / Konstantní funkce. Obnoveno z: es.wikibooks.org.
4. Wikipedia. Konstantní funkce. Obnoveno z: en.wikipedia.org
5. Wikipedia. Konstantní funkce. Obnoveno z: es.wikipedia.org.