HOMOGRAFICKÁ FUNKCE: JAK GRAFOVAT, ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Funkce homographic nebo racionální ng je druh matematické funkce se skládá z polynomiálních rozdělení dvou složek. Dodržuje tvar P (x) / Q (x), kde Q (x) nemůže mít nulovou podobu.

Například výraz (2x - 1) / (x + 3) odpovídá homografické funkci s P (x) = 2x - 1 a Q (x) = x + 3.

Zdroj: pixabay.com

Homografické funkce tvoří část studia analytických funkcí, která je ošetřena grafickým přístupem a studiem oblasti a rozsahu. Důvodem jsou omezení a důvody, které je třeba použít pro vaše usnesení.

Co je to homografická funkce?

Jsou to racionální výrazy jedné proměnné, ačkoli to neznamená, že neexistuje žádný podobný výraz pro dvě nebo více proměnných, kde by již byl v přítomnosti těl v prostoru, které se řídí stejnými vzory jako homografická funkce v rovině.

V některých případech mají skutečné kořeny, ale existence vertikálních a horizontálních asymptot je vždy zachována, stejně jako intervaly růstu a snižování. Obvykle je přítomen pouze jeden z těchto trendů, ale existují výrazy, které se mohou projevit v jejich vývoji.

Jeho doména je omezena kořeny jmenovatele, protože nedochází k dělení nulou reálných čísel.

Smíšená homografická funkce

Při výpočtu jsou velmi časté, zejména diferenciální a integrální, které je nutné odvodit a anti-derivát podle konkrétních vzorců. Některé z nejčastějších jsou uvedeny níže.

Dokonce i devátý kořen homografické funkce

Vyloučit všechny prvky domény, které tento argument negativně ovlivňují. Kořeny přítomné v každé polynomiální výtěžné hodnotě nula při vyhodnocení.

Tyto hodnoty jsou radikálem přijaty, ačkoliv je třeba vzít v úvahu základní omezení homografické funkce. Kde Q (x) nemůže přijmout nulové hodnoty.

Řešení intervalů musí být zachycena:

K dosažení řešení křižovatek lze použít mimo jiné metodu sign.

Logaritmus homografické funkce

Je také běžné najít oba výrazy v jednom, mezi jinými možnými kombinacemi.

Jak grafovat homografickou funkci?

Homografické funkce graficky odpovídají hyperbolasům v rovině. Které jsou transportovány vodorovně a svisle podle hodnot definujících polynomy.

Existuje několik prvků, které musíme definovat, aby graf racionální nebo homografické funkce.

Majetek

První budou kořeny nebo nuly funkcí P a Q.

Dosažené hodnoty budou vyznačeny na ose x grafu. Označení průsečíků grafu s osou.

Vertikální asymptota

Odpovídají svislým čarám, které ohraničují graf podle trendů, které představují. Dotýkají se osy x při hodnotách, které činí jmenovatel nulovou, a nikdy se jich nedotkne graf homografické funkce.

Horizontální asymptota

Představovaná vodorovnou stehovou čarou, vyznačuje hranici, pro kterou nebude funkce definována v přesném bodě. Trendy budou pozorovány před a za tímto řádkem.

Abychom to mohli vypočítat, musíme se uchýlit k metodě podobné L'Hopitalově metodě, která se používá k řešení limitů racionálních funkcí, které mají sklon k nekonečnu. Musíme vzít koeficienty nejvyšších sil v čitateli a jmenovateli funkce.

Například následující výraz má vodorovnou asymptotu na y = 2/1 = 2.

Růstový interval

Souřadnice budou mít na grafu vyznačené trendy kvůli asymptotům. V případě růstu funkce zvýší hodnoty, protože prvky domény jsou vyhodnoceny zleva doprava.

Snížit interval

Hodnoty ordinátu se budou snižovat s vyhodnocováním prvků domény zleva doprava.

Skoky nalezené v hodnotách nebudou brány v úvahu, protože se zvyšují nebo snižují. K tomu dochází, když je graf blízko svislé nebo vodorovné asymptoty, kde se hodnoty mohou lišit od nekonečna do záporného nekonečna a naopak.

Průsečík Y

Nastavením hodnoty x na nulu najdeme průsečík s souřadnou osou. Toto je velmi užitečná data pro získání grafu racionální funkce.

Příklady

Definujte graf následujících výrazů, najděte jejich kořeny, vertikální a horizontální asymptoty, intervaly nárůstu a poklesu a průnik s osou ordinace.

Cvičení 1

Výraz nemá kořeny, protože má v čitateli konstantní hodnotu. Omezení, které bude použito, bude x odlišné od nuly. S vodorovnou asymptotou na y = 0 a vertikální asymptotou na x = 0. Nejsou žádné průsečíky s osou y.

Je pozorováno, že neexistují žádné růstové intervaly ani při skoku z mínus na plus nekonečno při x = 0.

Interval snižování je

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Cvičení 1.2

2 polynomy jsou pozorovány jako v počáteční definici, takže postupujeme podle stanovených kroků.

Nalezený kořen je x = 7/2, což vyplývá z nastavení funkce na nulu.

Vertikální asymptota je na x = - 4, což je hodnota vyloučená z domény podmínkou racionální funkce.

Horizontální asymptota je na y = 2, to po dělení 2/1, koeficienty proměnných stupně 1.

Má průnik y = - 7/4. Hodnota nalezená po přirovnání x k nule.

Funkce neustále roste, se skokem z plusu na mínus nekonečno kolem kořene x = -4.

Jeho růstový interval je (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Když se hodnota x přiblíží mínus nekonečno, funkce vezme hodnoty blízké 2. Totéž se stane, když x dosáhne více nekonečna.

Výraz se blíží plus nekonečno při hodnocení na - 4 zleva a mínus nekonečno při hodnocení na - 4 zprava.

Cvičení 2

Je pozorován graf následující homografické funkce:

Popište jeho chování, kořeny, vertikální a horizontální asymptoty, intervaly růstu a poklesu a průnik s osou ordinátu.

Jmenovatel výrazu nám říká faktorováním rozdílu čtverců (x + 1) (x - 1) hodnot kořenů. Tímto způsobem lze obě vertikální asymptoty definovat jako:

x = -1 a x = 1

Horizontální asymptota odpovídá ose vodorovné osy, protože nejvyšší mocnost je ve jmenovateli.

Jeho jediný kořen je definován x = -1/3.

Výraz vždy klesá zleva doprava. Když se blíží k nekonečnu, blíží se nule. Mínus nekonečno při přiblížení -1 zleva. Plus nekonečno, když se blíží -1 zprava. Menší nekonečno, když se blíží 1 zleva a nekonečnější, když se blíží 1 zprava.

Reference

1. Aproximace s racionálními funkcemi. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31. prosince. 1979
2. Ortogonální racionální funkce. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. února. 1999
3. Racionální aproximace skutečných funkcí. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. března. 2011
4. Algebraické funkce. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1. ledna 2004
5. Žurnál Španělské matematické společnosti, Svazky 5-6. Španělská matematická společnost, Madrid 1916