STEINEROVA VĚTA: VYSVĚTLENÍ, APLIKACE, CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Steiner je věta, také známý jako paralelní teorém osy posoudit moment setrvačnosti rozšířeného tělesa, kolem osy, která je rovnoběžná s jinou procházející středem hmoty objektu.

Byl objeven švýcarským matematikem Jakobem Steinerem (1796–1863) a uvádí následující: Nechť I _CM je moment setrvačnosti objektu vzhledem k ose procházející jeho těžištěm CM a I _z moment setrvačnosti vůči jiné ose souběžně s tím.

Obrázek 1. Obdélníkové dveře otáčející se na svých kloubech mají moment setrvačnosti, který lze vypočítat použitím Steinerovy věty. Zdroj: Pixabay.

Znát vzdálenost D, která odděluje obě osy a hmotnost M dotyčného těla, moment setrvačnosti vzhledem k neznámé ose je:

Moment setrvačnosti ukazuje, jak snadné je pro objekt točit kolem určité osy. Závisí to nejen na hmotnosti těla, ale také na tom, jak je distribuováno. Z tohoto důvodu je také znám jako rotační setrvačnost, protože je jeho jednotkami v mezinárodním systému Kg. m ².

Věta ukazuje, že moment setrvačnosti I _z je vždy větší než moment setrvačnosti I _CM o množství dané MD ².

Aplikace

Protože objekt je schopen otáčet se kolem mnoha os a v tabulkách je obvykle vzhledem k ose procházející těžištěm uveden pouze moment setrvačnosti, Steinerova věta usnadňuje výpočet, když je třeba otáčet tělesa na osách které tomu neodpovídají.

Například, dveře se běžně neotáčejí kolem osy skrze její těžiště, ale kolem laterální osy, kde k sobě přiléhají panty.

Znalostí momentu setrvačnosti je možné vypočítat kinetickou energii spojenou s rotací kolem uvedené osy. Jestliže K je kinetická energie, I moment setrvačnosti kolem dané osy a co úhlová rychlost, to znamená, že:

Tato rovnice je velmi podobná velmi dobře známému vzorci pro kinetickou energii pro objekt hmoty M pohybující se rychlostí v: K = ½ Mv ². A to je to, že moment setrvačnosti nebo rotační setrvačnosti I hraje při rotaci stejnou roli jako hmota M v překladu.

Důkaz Steinerovy věty

Moment setrvačnosti rozšířeného objektu je definován jako:

I = ∫ r ² dm

Kde dm je nekonečně velká část hmotnosti a r je vzdálenost mezi dm a osou rotace z. Na obrázku 2 tato osa protíná těžiště CM, avšak může být libovolná.

Obrázek 2. Objekt natáčený kolem dvou rovnoběžných os. Zdroj: F. Zapata.

Kolem další osy Z 'je moment setrvačnosti:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Nyní, podle trojúhelníku tvořeného vektory D, r a r ' (viz obrázek 2 vpravo), existuje součet vektorů:

r + r ' = D → r' = D - r

Tři vektory leží v rovině objektu, kterým může být xy. Počátek souřadného systému (0,0) je vybrán v CM pro usnadnění následných výpočtů.

Tímto způsobem je čtvercový modul vektoru r ':

Nyní je tento vývoj nahrazen integrálem momentu setrvačnosti I _z a je také použita definice hustoty dm = ρ.dV:

Termín M. D ^2, který se objevuje ve Steinerově teorémě, vychází z prvního integrálu, druhý je moment setrvačnosti vzhledem k ose, která prochází CM.

Třetí a čtvrtý integrál mají hodnotu 0, protože z definice představují pozici CM, která byla vybrána jako původ souřadnicového systému (0,0).

Řešená cvičení

- Řešené cvičení 1

Obdélníkové dveře na obrázku 1 mají hmotnost 23 kg, šířku 1,30 a výšku 2,10 m. Určete moment setrvačnosti dveří vzhledem k ose procházející závěsem za předpokladu, že dveře jsou tenké a rovnoměrné.

Obrázek 3. Schéma pro zpracovaný příklad 1. Zdroj: upraveno z Pixabay.

Řešení

Z tabulky momentů setrvačnosti pro obdélníkovou desku o hmotnosti M a rozměrech aab je moment setrvačnosti vzhledem k ose, která prochází jejím těžištěm: I _CM = (1/12) M (a ² + b ²).

Předpokládá se homogenní brána (přibližná hodnota, protože brána na obrázku pravděpodobně není). V takovém případě prochází centrum hmoty jeho geometrickým středem. Na obrázku 3 byla nakreslena osa, která prochází středem hmoty, a je rovnoběžná s osou, která prochází kloubovými závěsy.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ²) m ² = 11,7 kg.m ²

Použití Steinerovy věty pro zelenou osu rotace:

I = I _CM + Md ² = 11,7 kg.m ² + 23 Kg x 0,652 m ² = 21,4 kg.

- Řešené cvičení 2

Najděte moment setrvačnosti homogenní tenké tyče, když se otáčí kolem osy, která prochází jedním z jejích konců, viz obrázek. Je větší nebo menší než moment setrvačnosti, když se otáčí kolem svého středu? Proč?

Obrázek 4. Schéma pro vyřešený příklad 2. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Podle tabulky momentů setrvačnosti je moment setrvačnosti I _CM tenké tyče o hmotnosti M a délky L: I _CM = (1/12) ML ²

A Steinerova věta říká, že když se točí kolem osy, která prochází jedním koncem D = L / 2, zůstává:

Je větší, i když ne jednoduše dvakrát, ale čtyřikrát více, protože druhá polovina tyče (na obrázku není zastíněna) se otáčí a popisuje větší poloměr.

Vliv vzdálenosti k ose rotace není lineární, ale kvadratický. Hmota, která je dvakrát vzdálenost jako další bude mít moment setrvačnosti v poměru k (2D) ² = 4D ².

Reference

1. Bauer, W. 2011. Fyzika pro strojírenství a vědy. Svazek 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Státní univerzita v Georgii. Rotační pohyb. Obnoveno z: phys.nthu.edu.tw.
3. Paralelní osa věta. Obnoveno z: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Věta o paralelní ose. Obnoveno z: en.wikipedia.org