Logaritmická funkce je matematický vztah, který spojuje každý pozitivní reálné číslo X se jeho logaritmus y na bázi A. Tento vztah splňuje požadavky na funkci: každý prvek x patřící do domény má jedinečný obrázek.
Tím pádem:
Protože logaritmus založený na čísle x je číslo y, na které musí být základna a zvýšena, aby se získalo x.
- Logaritmus základny je vždy 1. Graf f (x) = log a x vždy protíná osu x v bodě (1,0)
- Logaritmická funkce je transcendentní a nemůže být vyjádřena jako polynom nebo jako kvocient těchto. Kromě logaritmu tato skupina zahrnuje mimo jiné trigonometrické funkce a exponenciální.
Příklady
Logaritmická funkce může být stanovena různými základnami, ale nejpoužívanější jsou 10 a e, kde e je Eulerovo číslo rovné 2,71828….
Při použití základny 10 se logaritmus nazývá desítkový logaritmus, obyčejný logaritmus, Briggsův nebo jen obyčejný logaritmus.
A pokud je použito číslo e, pak se nazývá přirozený logaritmus, když John Napier, skotský matematik, který objevil logaritmy.
Pro každý z nich se používá zápis:
-Dekimální logaritmus: log 10 x = log x
-Nerianský logaritmus: ln x
Když se chystáte použít jinou základnu, je naprosto nezbytné ji označit jako dolní index, protože logaritmus každého čísla se liší v závislosti na použité základně. Pokud se například jedná o logaritmy v základně 2, napište:
y = log 2 x
Podívejme se na logaritmus čísla 10 ve třech různých základech, abychom ilustrovali tento bod:
log 10 = 1
ln 10 = 2,30259
log 2 10 = 3,32193
Běžné kalkulačky přinášejí pouze desetinné logaritmy (funkce log) a přirozený logaritmus (funkce ln). Na internetu jsou kalkulačky s jinými základnami. V každém případě může čtenář pomocí své pomoci ověřit, zda jsou splněny předchozí hodnoty:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10 0001
2 3,32193 = 10,0000
Malé desetinné rozdíly jsou způsobeny počtem desetinných míst při výpočtu logaritmu.
Výhody logaritmů
Mezi výhody použití logaritmů patří snadnost práce s velkými čísly, jejich logaritmus namísto čísla přímo.
To je možné, protože funkce logaritmu roste pomaleji s rostoucím počtem, jak je vidět v grafu.
Takže i při velmi velkém počtu jsou jejich logaritmy mnohem menší a manipulace s malými čísly je vždy snazší.
Logaritmy mají navíc následující vlastnosti:
- Produkt: log (ab) = log a + log b
- Quotient: log (a / b) = log a - log b
- Power: log a b = b.log a
Tímto způsobem se výrobky a kvocienty stávají sčítáním a odečtením menších čísel, zatímco potenciace se stává jednoduchým produktem, i když je síla vysoká.
Proto nám logaritmy umožňují vyjádřit čísla, která se liší ve velmi širokém rozmezí hodnot, jako je intenzita zvuku, pH roztoku, jas hvězd, elektrický odpor a intenzita zemětřesení v Richterově stupnici.
Obrázek 2. Logaritmy se používají v Richterově stupnici pro kvantifikaci velikosti zemětřesení. Obrázek ukazuje zhroucenou budovu v Concepción v Chile během zemětřesení v roce 2010. Zdroj: Wikimedia Commons.
Podívejme se na příklad manipulace s vlastnostmi logaritmů:
Příklad
Vyhledejte hodnotu x v následujícím výrazu:
Odpověď
Máme zde logaritmickou rovnici, protože neznámý je v argumentu logaritmu. Řešeno je ponecháním jediného logaritmu na každé straně rovnosti.
Začneme umístěním všech výrazů, které obsahují „x“ nalevo od rovnosti, a těch, které obsahují pouze čísla vpravo:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Vlevo máme odčítání dvou logaritmů, které lze zapsat jako logaritmus kvocientu:
log = 1
Napravo je však číslo 1, které můžeme vyjádřit jako log 10, jak jsme viděli dříve. Tak:
log = log 10
Aby byla rovnost pravdivá, musí být argumenty logaritmů stejné:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Cvičení aplikace: Richterova stupnice
V roce 1957 došlo v Mexiku k zemětřesení, jehož velikost byla 7,7 stupně Richterovy stupnice. V roce 1960 došlo k dalšímu zemětřesení o větší velikosti v Chile, 9,5.
Vypočítejte, kolikrát zemětřesení v Chile bylo intenzivnější než v Mexiku, s vědomím, že velikost M R v Richterově stupnici je dána vzorcem:
M R = log (10 4 I)
Řešení
Velikost zemětřesení v Richterově stupnici je logaritmická funkce. Budeme spočítat intenzitu každého zemětřesení, protože máme Richterovy velikosti. Udělejme to krok za krokem:
- Mexiko: 7,7 = log (10 4 I)
Protože inverze logaritmické funkce je exponenciální, aplikujeme ji na obě strany rovnosti s úmyslem řešit I, což se nachází v argumentu logaritmu.
Protože se jedná o desítkové logaritmy, základna je 10. Pak:
10 7.7 = 10 4 I
Intenzita zemětřesení v Mexiku byla:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Chile: 9,5 = log (10 4 I)
Stejný postup nás vede k intenzitě zemětřesení Chilean I Ch:
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
Nyní můžeme porovnat obě intenzity:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Zemětřesení v Chile bylo asi 63krát intenzivnější než zemětřesení v Mexiku. Protože velikost je logaritmická, roste pomaleji než intenzita, takže rozdíl 1 v hodnotě znamená 10krát větší amplitudu seismické vlny.
Rozdíl mezi velikostmi obou zemětřesení je 1,8, proto bychom mohli očekávat rozdíl v intenzitách blížící se 100 než 10, jak se ve skutečnosti stalo.
Ve skutečnosti, kdyby byl rozdíl přesně 2, chilské zemětřesení by bylo 100krát intenzivnější než mexické.
Reference
- Carena, M. 2019. Předuniverzitní matematická příručka. Národní univerzita v Litoralu.
- Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikovaný rok. Vydání CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Výpočet proměnné. 9. Edice. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Edice. Cengage Learning.