Zobrazení na je nějaký vztah, kde každý prvek patřící do codomain je obraz alespoň jednoho prvku z domény. Jsou také známé jako funkce obálky a jsou součástí klasifikace funkcí s ohledem na vztah mezi jejich prvky.

Například funkce F: A → B definovaná pomocí F (x) = 2x

Která se čte " F, která jde z A do B definovaná F (x) = 2x"

Musíte definovat počáteční a dokončovací sady A a B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Nyní hodnoty nebo obrázky, které každý z těchto prvků získá, když budou vyhodnoceny v F, budou prvky codomény.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Tvoří tedy množinu B: {2, 4, 6, 8, 10}

Lze tedy dojít k závěru, že:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definované F (x) = 2x Jedná se o přídavnou funkci

Každý prvek codomény musí být výsledkem alespoň jedné operace nezávislé proměnné prostřednictvím dané funkce. Neexistuje žádné omezení obrázků, prvek codomain může být obrazem více než jednoho prvku domény a stále zkusit pomocnou funkci.

Na obrázku 2 jsou uvedeny příklady s přídavnými funkcemi.

Zdroj: Autor

V prvním je pozorováno, že obrázky mohou být odkazovány na stejný prvek, aniž by byla ohrožena surjectivity funkce.

Ve druhé vidíme spravedlivé rozdělení mezi doménou a obrázky. To vede ke vzniku bijektivní funkce, kde musí být splněna kritéria injekční a surjektivní funkce.

Další metodou pro identifikaci pomocných funkcí je ověření, zda je codomain shodný s hodností funkce. To znamená, že pokud je vstupní sada stejná jako obrázky poskytované funkcí při vyhodnocování nezávislé proměnné, funkce je přídavná.

Vlastnosti

Aby bylo možné považovat funkci za přídavnou funkci, musí být splněny následující podmínky:

Nechť F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Toto je algebraický způsob, jak stanovit, že pro každé „b“, které patří do _Cf, existuje „a“, které patří do _Df, takže funkce F hodnocená v „a“ je rovna „b“.

Surjectivity je zvláštnost funkcí, kde jsou codomain a rozmezí podobné. Prvky vyhodnocené ve funkci tedy tvoří sadu příchozích.

Kondicionování funkce

Někdy může být funkce, která není adjektivní, vystavena určitým podmínkám. Tyto nové podmínky mohou z něj učinit přídavnou funkci.

Platí všechny druhy modifikací domény a codomény funkce, jejichž cílem je splnit vlastnosti adjektivity v odpovídajícím vztahu.

Příklady: řešená cvičení

Pro splnění podmínek surjectivity je nutné použít různé techniky kondicionování, aby se zajistilo, že každý prvek codomainu je v sadě obrazů funkce.

Cvičení 1

• Nechť je funkce F: R → R definována přímkou F (x) = 8 - x

A:

Zdroj: autor

V tomto případě funkce popisuje spojitou linku, která obsahuje všechna reálná čísla v doméně i rozsahu. Protože rozsah funkce R _f je rovno codomain R lze dojít k závěru, že:

F: R → R definované přímkou F (x) = 8 - x je přídavná funkce.

To platí pro všechny lineární funkce (funkce, jejichž nejvyšší stupeň proměnné je jedna).

Cvičení 2

• Studujte funkci F: R → R definovanou F (x) = x ²: Definujte, zda se jedná o přídavnou funkci. Pokud tomu tak není, ukažte podmínky nezbytné k tomu, aby byl adjektivní.

Zdroj: autor

První věc, kterou je třeba vzít v úvahu, je codoména F, která se skládá z reálných čísel R. Neexistuje způsob, jak by funkce dala záporné hodnoty, které vylučují negativní reálné hodnoty z možných obrazů.

Kondicionování codomény na interval. Je vyloučeno nechat prvky codomainu nesouvisející prostřednictvím F.

Obrazy se opakují pro dvojice prvků nezávislé proměnné, jako je x = 1 a x = - 1. To však ovlivňuje pouze injektivitu funkce, což není problém pro tuto studii.

Tímto způsobem lze dojít k závěru, že:

F: R → . Tento interval musí podmínit codomain k dosažení surjectivity funkce.

F: R → definováno F (x) = Sen (x) Jedná se o přídavnou funkci

F: R → definováno pomocí F (x) = Cos (x) Jedná se o přídavnou funkci

Cvičení 4

• Studujte funkci

F:).push ({});

Zdroj: Autor

Funkce F (x) = ± √x má tu zvláštnost, že definuje 2 závislé proměnné při každé hodnotě „x“. To znamená, že rozsah přijímá 2 prvky pro každý z nich, který je vytvořen v doméně. Kladná a záporná hodnota musí být ověřena pro každou hodnotu „x“.

Při pozorování výchozí sady je třeba poznamenat, že doména již byla omezena, aby se zabránilo indeterminacies produkované při vyhodnocení záporného čísla v sudém kořenovém adresáři.

Při kontrole rozsahu funkce je třeba poznamenat, že každá hodnota codomény patří do rozsahu.

Tímto způsobem lze dojít k závěru, že:

F: [0, ∞) → R definované pomocí F (x) = ± √x Jedná se o přídavnou funkci

Cvičení 4

• Studujte funkci F (x) = Ln x označte, zda se jedná o přídavnou funkci. Podmínkou je nastavení příchodu a odjezdu tak, aby odpovídala funkci kritériím surjectivity.

Zdroj: Autor

Jak je uvedeno v grafu, funkce F (x) = Ln x je definována pro hodnoty "x" větší než nula. Zatímco hodnoty „a“ ​​nebo obrázků mohou mít jakoukoli skutečnou hodnotu.

Tímto způsobem můžeme omezit doménu F (x) = na interval (0, ∞)

Dokud bude rozsah funkce zachován jako množina reálných čísel R.

S ohledem na to lze konstatovat, že:

F: [0, ∞) → R definované F (x) = Ln x Jedná se o přídavnou funkci

Cvičení 5

• Studujte funkci absolutní hodnoty F (x) = - x - a určete příletové a odletové sady, které splňují kritéria pro odhad příhodnosti.

Zdroj: Autor

Doména funkce je splněna pro všechna reálná čísla R. Tímto způsobem musí být v codomainu provedeno jediné kondicionování, přičemž se bere v úvahu, že funkce absolutní hodnoty bere pouze kladné hodnoty.

Postupujeme k vytvoření codomény funkce, která se rovná hodnosti téže

[0, ∞)

Nyní lze konstatovat, že:

F: [0, ∞) → R definované pomocí F (x) = - x - Jedná se o přídavnou funkci

Navrhovaná cvičení

1. Zkontrolujte, zda jsou následující funkce přídavné:

• F: (0, ∞) → R definované F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R definované F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞) definované F (x) = x ² + 1
• [0, ∞) → R definované pomocí F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R definované F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definované F (x) = 1 / x

Reference

1. Úvod do logického a kritického myšlení. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problémy v matematické analýze. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Vratislavská univerzita. Polsko.
3. Prvky abstraktní analýzy. Mícheál O'Searcoid PhD. Katedra matematiky. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Úvod do logiky a metodologie deduktivních věd. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
5. Principy matematické analýzy. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spain.