TRANSCENDENTNÍ FUNKCE: TYPY, DEFINICE, VLASTNOSTI, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Tyto elementární transcendentní funkce jsou exponenciální, logaritmické, goniometrické, inverzní goniometrické funkce, hyperbolické a inverzní hyperbolické funkce. To znamená, že jsou to ty, které nelze vyjádřit pomocí polynomu, kvocientu polynomů nebo kořenů polynomů.

Neelementární transcendentní funkce jsou také známé jako speciální funkce a mezi nimi lze pojmenovat chybovou funkci. Algebraické funkce (polynomy, kvocienty polynomů a kořeny polynomů) spolu s elementárními transcendentálními funkcemi tvoří to, co je v matematice známé jako elementární funkce.

Transcendentní funkce jsou také považovány za ty, které jsou výsledkem operací mezi transcendentními funkcemi nebo mezi transcendentními a algebraickými funkcemi. Tyto operace jsou: součet a rozdíl funkcí, součin a podíl funkcí, jakož i složení dvou nebo více funkcí.

Definice a vlastnosti

Exponenciální funkce

Je to skutečná funkce skutečné nezávislé proměnné tvaru:

f (x) = a ^ x = a ^x

kde a je pevné kladné reálné číslo (a> 0) nazývané základna. Cirkus nebo horní index se používají k označení potenciační operace.

Řekněme a = 2, pak funkce vypadá takto:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Která bude vyhodnocena pro několik hodnot nezávislé proměnné x:

Níže je graf, kde je exponenciální funkce reprezentována pro několik hodnot základny, včetně základny e (Neperovo číslo e ≃ 2,72). Základ e je tak důležitý, že obecně mluvíme o exponenciální funkci, kterou přemýšlíme o e ^ x, což je také označeno exp (x).

Obrázek 1. Exponenciální funkce a ^ x, pro různé hodnoty základny a. (Vlastní zpracování)

Vlastnosti exponenciální funkce

Z obrázku 1 je patrné, že doménou exponenciálních funkcí jsou reálná čísla (Dom f = R) a rozsah nebo cesta jsou kladné reálné hodnoty (Ran f = R ⁺).

Na druhou stranu, bez ohledu na hodnotu základny a, procházejí všechny exponenciální funkce bodem (0, 1) a bodem (1, a).

Když základna a> 1, funkce se zvyšuje a když 0 <a <1, funkce klesá.

Křivky y = a ^ x a y = (1 / a) ^ x jsou symetrické kolem osy Y.

S výjimkou případu a = 1 je exponenciální funkce injektivní, to znamená, že každé hodnotě obrazu odpovídá jedna a pouze jedna počáteční hodnota.

Logaritmická funkce

Je to skutečná funkce skutečné nezávislé proměnné založené na definici logaritmu čísla. Logaritmus založený na čísle x je číslo y, na které musí být základna zvýšena, aby se získal argument x:

log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

To znamená, že logaritmická funkce založená na je inverzní funkcí exponenciální funkce založené na.

Například:

log ₂ 1 = 0, protože 2 ^ 0 = 1

Další případ, log ₂ 4 = 2, protože 2 ^ 2 = 4

Kořenový logaritmus 2 je log ₂ √2 = ½, protože 2 ^ ½ = √2

log ₂ ¼ = -2, od 2 ^ (- 2) = ¼

Níže je uveden graf logaritmické funkce v různých základech.

Obrázek 2. Exponenciální funkce pro různé hodnoty základny. (Vlastní zpracování)

Vlastnosti logaritmické funkce

Doménou logaritmické funkce y (x) = log a (x) jsou kladná reálná čísla R +. Rozsah cestování nebo jsou reálná čísla R.

Bez ohledu na základnu logaritmická funkce vždy prochází bodem (1,0) a bod (a, 1) patří do grafu této funkce.

V případě, že základna a je větší než jednota (a> 1), logaritmická funkce roste. Pokud však (0 <a <1), jedná se o klesající funkci.

Sine, Cosine a Tangent Functions

Funkce sinus přiřadí skutečné číslo a každé hodnotě x, kde x představuje míru úhlu v radiánech. Pro získání hodnoty Senu (x) úhlu je úhel znázorněn v kruhové jednotce a projekce uvedeného úhlu na vertikální ose je sinus odpovídající tomuto úhlu.

Trigonometrický kruh a sinus pro různé úhlové hodnoty X1, X2, X3 a X4 jsou uvedeny níže (na obrázku 3).

Obrázek 3. Trigonometrický kruh a sinus různých úhlů. (Vlastní zpracování)

Tímto způsobem je definována maximální hodnota, kterou může mít funkce Sen (x) 1, která nastává, když x = π / 2 + 2π n, kde n je celé číslo (0, ± 1, ± 2,). Minimální hodnota, kterou může funkce Sen (x) vzít, nastane, když x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinová funkce y = Cos (x) je definována podobným způsobem, ale promítání úhlových poloh P1, P2 atd. Se provádí na horizontální ose trigonometrického kruhu.

Na druhé straně funkce y = Tan (x) je kvocient mezi sinusovou funkcí a cosinovou funkcí.

Níže je graf transcendentních funkcí Sen (x), Cos (x) a Tan (x)

Obrázek 4. Graf transcendentních funkcí, Sine, Cosine a Tangent. (Vlastní zpracování)

Deriváty a integrály

Derivace exponenciální funkce

Derivace y 'exponenciální funkce y = a ^ x je funkce a ^ x násobená přirozeným logaritmem báze a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

V konkrétním případě báze e je derivát exponenciální funkce samotná exponenciální funkce.

Integrál exponenciální funkce

Neurčitý integrál a x je funkce sama dělená přirozeným logaritmem základny.

V konkrétním případě báze e je integrál exponenciální funkce samotná exponenciální funkce.

Tabulka derivátů a integrálů transcendentních funkcí

Níže je souhrnná tabulka hlavních transcendentních funkcí, jejich derivátů a neurčitých integrálů (antideriváty):

Tabulka derivátů a neurčitých integrálů pro některé transcendentní funkce. (Vlastní zpracování)

Příklady

Příklad 1

Najděte funkci vyplývající ze složení funkce f (x) = x ^ 3 s funkcí g (x) = cos (x):

(mlha) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Jeho derivát a jeho neurčitý integrál je:

Příklad 2

Najděte složení funkce g s funkcí f, kde g af jsou funkce definované v předchozím příkladu:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Je třeba poznamenat, že složení funkcí není komutativní operací.

Derivát a neurčitý integrál pro tuto funkci jsou příslušně:

Integrál byl označen, protože není možné přesně napsat výsledek jako kombinaci elementárních funkcí.

Reference

1. Matematika jedné proměnné. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. listopadu 2008
2. Implicitní věta o funkci: historie, teorie a aplikace. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. listopadu. 2012
3. Multivariabilní analýza. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. prosince. 2010
4. Dynamika systému: Modelování, simulace a řízení mechatronických systémů. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. března 2012
5. Matematika: Matematika a modelování. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. ledna 1999
6. wikipedia. Transcendentní funkce. Obnoveno z: es.wikipedia.com