ANALYTICKÁ GEOMETRIE: CO STUDUJE, HISTORIE, APLIKACE - MATEMATIKA - 2025

Tyto analytické geometrie studie linie a geometrické tvary podle použitím základních algebry techniky a matematické analýzy v daném systému souřadnic.

Analytická geometrie je tedy odvětví matematiky, které podrobně analyzuje všechna data geometrických obrazců, tj. Objem, úhly, oblast, průsečíky, jejich vzdálenosti a další.

Základní charakteristikou analytické geometrie je to, že umožňuje reprezentaci geometrických obrazců pomocí vzorců.

Obvody jsou například reprezentovány polynomiálními rovnicemi druhého stupně, zatímco linie jsou vyjádřeny polynomiálními rovnicemi prvního stupně.

Analytická geometrie vzniká v sedmnáctém století kvůli potřebě poskytnout odpovědi na problémy, které dosud neměly řešení. Jeho nejvyšší představitelé byli René Descartes a Pierre de Fermat.

Mnoho autorů dnes na to poukazuje jako na revoluční tvorbu v dějinách matematiky, protože představuje začátek moderní matematiky.

Historie analytické geometrie

Termín analytická geometrie vznikl ve Francii v sedmnáctém století kvůli potřebě poskytnout odpovědi na problémy, které nebylo možné vyřešit pomocí algebry a geometrie izolovaně, ale řešení spočívalo v kombinovaném použití obou.

Hlavní představitelé analytické geometrie

Během sedmnáctého století provedli dva náhodně v životě Francouzi výzkum, který tak či onak skončil vytvořením analytické geometrie. Tito lidé byli Pierre de Fermat a René Descartes.

V současné době se předpokládá, že tvůrcem analytické geometrie byl René Descartes. To je způsobeno tím, že publikoval svou knihu před Fermatovou a také do hloubky s Descartesem na téma analytické geometrie.

Fermat i Descartes však zjistili, že čáry a geometrické obrazce lze vyjádřit rovnicemi a rovnice lze vyjádřit jako čáry nebo geometrické obrazce.

Podle objevů obou lze říci, že oba jsou tvůrci analytické geometrie.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat byl francouzský matematik, který se narodil v roce 1601 a zemřel v roce 1665. Během svého života studoval geometrii Euklida, Apolloniuse a Pappuse, aby vyřešil problémy s měřením, které v té době existovaly.

Později tyto studie spustily vytvoření geometrie. Nakonec byli vyjádřeni ve své knize „Úvod do bytových a pevných míst“ (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), která vyšla 14 let po jeho smrti v roce 1679.

Pierre de Fermat aplikoval analytickou geometrii na Apolloniusovy věty na geometrických místech v 1623. Byl také prvním, kdo použil analytickou geometrii na trojrozměrný prostor.

Rene Descartes

Také známý jako Cartesius, byl matematik, fyzik a filozof, který se narodil 31. března 1596 ve Francii a zemřel v roce 1650.

René Descartes publikoval v roce 1637 svou knihu „Diskuse o metodě správného usměrňování rozumu a hledání pravdy ve vědách“ lépe známou jako „Metoda“ a odtud byl světu představen pojem analytická geometrie. Jednou z jeho příloh byla „Geometrie“.

Základní prvky analytické geometrie

Analytická geometrie se skládá z následujících prvků:

Kartézský souřadnicový systém

Tento systém je pojmenován po René Descartes.

Nebyl to on, kdo to pojmenoval, ani ten, kdo dokončil kartézský souřadnicový systém, ale byl to on, kdo mluvil o souřadnicích s kladnými čísly, což umožnilo budoucím učencům jej dokončit.

Tento systém se skládá z pravoúhlého souřadného systému a polárního souřadného systému.

Obdélníkové souřadnicové systémy

Obdélníkové souřadné systémy se nazývají rovinou vytvořenou sledováním dvou číselných čar kolmých na sebe, kde se mezní bod shoduje se společnou nulou.

Pak by byl tento systém tvořen horizontální a vertikální.

Vodorovná čára je osa X nebo osa x. Svislou čarou by byla osa Y nebo osa y.

Polární souřadnicový systém

Tento systém má na starosti ověřování relativní polohy bodu ve vztahu k pevné lince a pevnému bodu na lince.

Kartézská rovnice přímky

Tato rovnice je získána z čáry, když jsou známy dva body, kterými prochází.

Přímka

Je to ten, který se neodchyluje, a proto nemá ani křivky ani úhly.

Kónická

Jsou to křivky definované čarami, které procházejí pevným bodem a body křivky.

Elipsa, obvod, parabola a hyperbola jsou kónické křivky. Každá z nich je popsána níže.

Obvod

Obvod se nazývá křivka uzavřené roviny, která je tvořena všemi body roviny, které jsou stejně vzdálené od vnitřního bodu, tj. Od středu obvodu.

Podobenství

Je to místo bodů v rovině, které jsou stejně vzdálené od pevného bodu (fokus) a pevné linie (directrix). Takže parabola definují directrix a fokus.

Parabola může být získána jako část kónického rotačního povrchu rovinou rovnoběžnou s generatrixem.

Elipsa

Uzavřená křivka, která popisuje bod při pohybu v rovině, se nazývá elipsa tak, že součet jeho vzdáleností ke dvěma (2) pevným bodům (nazývaným ohniska) je konstantní.

Hyperbola

Hyperbola se nazývá křivka definovaná jako lokus bodů v rovině, pro který je rozdíl mezi vzdálenostmi dvou pevných bodů (ohnisk) konstantní.

Hyperbola má osu symetrie, která prochází ohnisky, nazývaná ohnisková osa. To také má další, který je křivka segmentu, který má pevné konce na jeho koncích.

Aplikace

Existuje mnoho aplikací analytické geometrie v různých oblastech každodenního života. Například v mnoha nástrojích, které se dnes používají, najdeme parabolu, jeden ze základních prvků analytické geometrie. Některé z těchto nástrojů jsou následující:

Parabolická anténa

Parabolické antény mají reflektor generovaný v důsledku paraboly, která se otáčí na ose uvedené antény. Povrch, který je generován v důsledku této akce, se nazývá paraboloid.

Tato schopnost paraboloidu se nazývá optická vlastnost nebo vlastnost odrazu paraboly, a díky tomu je možné, aby paraboloid odrážel elektromagnetické vlny, které přijímá z napájecího mechanismu tvořícího anténu.

Závěsné mosty

Pokud lano nese hmotnost, která je homogenní, ale současně je podstatně větší než hmotnost samotného lana, bude výsledkem parabola.

Tento princip je zásadní pro konstrukci závěsných mostů, které jsou obvykle podporovány širokými ocelovými kabelovými konstrukcemi.

Princip podobenství v visutých mostech byl použit ve strukturách, jako je Golden Gate Bridge, který se nachází ve městě San Francisco, ve Spojených státech, nebo Great Bridge of Akashi Strait, který se nachází v Japonsku a spojuje ostrov Awaji s Honshūem, hlavním ostrovem této země.

Astronomická analýza

Analytická geometrie měla také velmi specifické a rozhodující využití v oblasti astronomie. V tomto případě je prvkem analytické geometrie, který zaujímá středové stádium, elipsa; Odráží to zákon pohybu Johna Keplera planet.

Kepler, německý matematik a astronom, určil, že elipsa je křivka, která nejlépe odpovídá pohybu Marsu; Dříve testoval kruhový model navržený Copernicem, ale uprostřed jeho experimentů usoudil, že elipsa slouží k tomu, aby nakreslila orbitu dokonale podobnou planetě, kterou studoval.

Díky elipse, Kepler dokázal potvrdit, že planety se pohybovaly v eliptických drahách; tato úvaha byla vyjádřením tzv. druhého zákona Keplera.

Z tohoto objevu, později obohaceného anglickým fyzikem a matematikem Isaacem Newtonem, bylo možné studovat orbitrační pohyby planet a rozšířit znalosti o vesmíru, jehož jsme součástí.

Cassegrain dalekohled

Teleskop Cassegrain je pojmenován po svém vynálezci, francouzském fyzikovi Laurentovi Cassegrainovi. V tomto dalekohledu se používají principy analytické geometrie, protože se skládá převážně ze dvou zrcadel: první má konkávní a parabolický tvar a druhé je charakterizováno konvexním a hyperbolickým tvarem.

Umístění a povaha těchto zrcátek umožňuje, aby nedošlo k závadě známé jako sférická aberace; Tato vada brání odrazu světelných paprsků v ohnisku dané čočky.

Dalekohled Cassegrain je velmi užitečný pro pozorování planet, stejně jako docela všestranný a snadno použitelný.

Reference

1. Analytická geometrie. Citováno z 20. října 2017, z britannica.com
2. Analytická geometrie. Citováno z 20. října 2017, z encyclopediafmath.org
3. Analytická geometrie. Citováno z 20. října 2017, z khancademy.org
4. Analytická geometrie. Citováno z 20. října 2017, z wikipedia.org
5. Analytická geometrie. Citováno z 20. října 2017, z whitman.edu
6. Analytická geometrie. Citováno z 20. října 2017, z stewartcalculus.com
7. Analytická geometrie roviny Načteno 20. října 2017