EUKLIDOVSKÁ GEOMETRIE: HISTORIE, ZÁKLADNÍ POJMY A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

V euklidovské geometrie odpovídá studiu vlastností geometrických prostorů, kde jsou splněny Euclidovy axiomy. Ačkoli tento termín je někdy používán zahrnout vyšší rozměrové geometrie s podobnými vlastnostmi, to je obecně synonymum s klasickou geometrií nebo rovinnou geometrií.

Ve III. Století Euclides a jeho učedníci psali elementy, dílo, které zahrnulo matematické znalosti času vybaveného logicky deduktivní strukturou. Od té doby se geometrie stala vědou, zpočátku řešila klasické problémy a vyvinula se jako formativní věda, která pomáhá rozumu.

Dějiny

Abychom mohli mluvit o historii euklidovské geometrie, je nezbytné začít s euklidy Alexandrie a živly.

Když byl Egypt ponechán v rukou Ptolemaia I., po smrti Alexandra Velikého začal svůj projekt ve škole v Alexandrii.

Mezi mudrci, kteří učili ve škole, byl Euclid. To je spekuloval, že jeho narození se datuje od přibližně 325 př.nl. C. a jeho smrt 265 a. C. S jistotou víme, že šel do Platónovy školy.

Euclid učil více než třicet let v Alexandrii a budoval své slavné prvky: začal psát vyčerpávající popis matematiky své doby. Euclidova učení vytvořila vynikající učedníky, jako jsou Archimedes a Apollonius z Pergy.

Euclid měl na starosti strukturování různorodých objevů starověkých Řeků v živelech, ale na rozdíl od svých předchůdců se neomezuje na tvrzení, že věta je pravdivá; Euclid nabízí ukázku.

The Elements je souhrnem třinácti knih. Po Bibli je to nejvíce publikovaná kniha s více než tisíci vydáními.

Euclidovy prvky

Prvky jsou Euclidovým mistrovským dílem v oblasti geometrie a nabízejí definitivní zpracování geometrie dvou rozměrů (rovina) a tří rozměrů (prostor), což je původ toho, co nyní známe jako euklidovská geometrie.

Základní pojmy

Prvky se skládají z definic, společných pojmů a postulátů (nebo axiomů), za nimiž následují věty, konstrukce a důkazy.

- Jde o to, že nemá žádné části.

- Čára je délka, která nemá žádnou šířku.

- Přímka je linie, která leží stejně ve vztahu k bodům, které jsou v ní.

- Pokud jsou dvě čáry oříznuty tak, že sousední úhly jsou stejné, úhly se nazývají přímé čáry a čáry se nazývají kolmé.

- Paralelní linie jsou ty, které se ve stejné rovině nikdy neprotínají.

Po těchto a dalších definicích nám Euclid předkládá seznam pěti postulátů a pěti pojmů.

Společné pojmy

- Dvě věci, které se rovnají třetině, se navzájem rovnají.

- Pokud jsou stejné věci přidány ke stejným věcem, výsledky jsou stejné.

- Jsou-li stejné věci odečteny, jsou stejné výsledky.

- Věci, které se navzájem shodují, jsou si navzájem stejné.

- Celkový součet je větší než část.

Postuláty nebo axiomy

- Jedna a pouze jedna čára prochází dvěma různými body.

- Přímky lze prodloužit na neurčito.

- Můžete nakreslit kruh s libovolným středem a poloměrem.

- Všechny pravoúhlé úhly jsou stejné.

- Pokud přímka protíná dvě přímky, takže vnitřní úhly stejné strany sečtou až dva pravoúhlé úhly, pak se tyto linie budou na této straně křížit.

Tento poslední postulát se nazývá paralelní postulát a byl přeformulován následujícím způsobem: "Pro bod mimo přímku lze nakreslit jednu rovnoběžku s danou přímkou."

Příklady

Dále, některé věty Elementů budou sloužit k zobrazení vlastností geometrických prostorů, kde je splněno pět postulátů Euklidu; Dále budou ilustrovat logicky deduktivní uvažování, které tento matematik používá.

První příklad

Návrh 1.4. (LAL)

Pokud mají dva trojúhelníky dvě strany a úhel mezi nimi je stejný, pak jsou ostatní strany a ostatní úhly stejné.

Demonstrace

Nechť ABC a A'B'C 'jsou dva trojúhelníky s AB = A'B', AC = A'C 'a úhly BAC a B'A'C' stejné. Posuňme trojúhelník A'B'C 'tak, aby se A'B' shodoval s AB a úhel B'A'C 'se shodoval s úhlem BAC.

Čára A'C 'se tedy shoduje s čarou AC, takže C' se shoduje s C. Pak, podle postulátu 1, se linie BC musí shodovat s čarou B'C '. Proto se tyto dva trojúhelníky shodují, a proto jsou jejich úhly a jejich strany stejné.

Druhý příklad

Návrh 1.5. (

Předpokládejme, že trojúhelník ABC má stejné strany AB a AC.

Trojúhelníky ABD a ACD tedy mají dvě stejné strany a úhly mezi nimi jsou stejné. Podle návrhu 1.4 jsou tedy úhly ABD a ACD stejné.

Třetí příklad

Návrh 1.31

Můžete vytvořit čáru rovnoběžnou s přímkou ​​danou daným bodem.

Budova

Vzhledem k přímce L a bodu P je čára M nakreslena skrz P a protíná se L. Potom je čára N nakreslena skrz P, která protíná L. Nyní je čára N nakreslena skrz P, která protíná M, vytváří úhel rovný úhlu, který L tvoří s M.

Potvrzení

N je rovnoběžná s L.

Demonstrace

Předpokládejme, že L a N nejsou rovnoběžné a protínají se v bodě A. Nechť B je bod v L za A. Uvažujme čáru O, která prochází B a P. Potom O protíná M v úhlech, které se sčítají méně než dva rovně.

Pak o 1,5 čáry O musí protínat čáru L na druhé straně M, takže L a O se protínají ve dvou bodech, což je v rozporu s postulátem 1. Proto L a N musí být rovnoběžné.

Reference

1. Euklidy, prvky geometrie. Národní autonomní univerzita v Mexiku
2. Euclid. Prvních šest knih a jedenáctá a dvanáctá Euclidova živlu
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktika a historie euklidovské geometrie, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Dějiny matematiky. Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Editorial Venezolana CA