PYTHAGOROVSKÉ IDENTITY: UKÁZKA, PŘÍKLAD, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Pythagorovské identity jsou všechny trigonometrické rovnice, které platí pro jakoukoli hodnotu úhlu a jsou založeny na Pythagorově větě. Nejslavnější Pythagorean identity je základní trigonometrická identita:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Obrázek 1. Pythagorovské trigonometrické identity.

Další v důležitosti a já používám Pythagorean identitu tečné a secant:

Tan ² (a) + 1 = Sec ² (a)

A pythagorovská trigonometrická identita zahrnující cotangenta a cosecanta:

1 + Ctg ² (a) = Csc ² (a)

Demonstrace

Trigonometrické poměry sinus a kosinus jsou znázorněny na kružnici o poloměru jedna (1) známá jako trigonometrická kružnice. Uvedený kruh má střed na počátku souřadnic O.

Úhly se měří od kladné poloosy Xs, například z úhlu a na obrázku 2 (viz níže). Pokud je úhel kladný, proti směru hodinových ručiček, je-li záporný.

Nakreslí se paprsek s počátkem O a úhlem a, který zachycuje kružnici jednotky v bodě P. Bod P se promítá kolmo na vodorovnou osu X, což vede k bodu C. Podobně P se promítá kolmo na svislou osu Y místo do bodu S.

Máme pravý trojúhelník OCP na C.

Sinus a kosinus

Je třeba si uvědomit, že trigonometrický poměr sinus je definován na pravoúhlém trojúhelníku takto:

Sinus úhlu trojúhelníku je poměr nebo kvocient mezi nohou naproti úhlu a přetížením trojúhelníku.

Při použití na trojúhelník OCP obrázku 2 by to vypadalo takto:

Sen (a) = CP / OP

ale CP = OS a OP = 1, takže:

Sen (a) = OS

Což znamená, že projekční OS na ose Y má hodnotu rovnou sinusu zobrazeného úhlu. Je třeba poznamenat, že maximální hodnota sinusového úhlu (+1) nastává, když α = 90 ° a minimum (-1), když α = -90 ° nebo α = 270 °.

Obrázek 2. Trigonometrický kruh ukazující vztah mezi Pythagorovou větou a základní trigonometrickou identitou. (Vlastní zpracování)

Podobně je kosinus úhlu kvocient mezi nohou sousedící s úhlem a předpětím trojúhelníku.

Při použití na trojúhelník OCP obrázku 2 by to vypadalo takto:

Cos (a) = OC / OP

ale OP = 1, takže:

Cos (a) = OC

To znamená, že výstupek OC na ose X má hodnotu rovnou sinusovému znázorněnému úhlu. Je třeba poznamenat, že maximální hodnota kosinu (+1) nastává, když α = 0 ° nebo α = 360 °, zatímco minimální hodnota kosinu je (-1), když α = 180 °.

Základní identita

Pro pravoúhlý trojúhelník OCP v C se použije Pythagorova věta, která uvádí, že součet čtverce nohou je roven čtverci předpony:

CP ² + OC ² = OP ²

Ale již bylo řečeno, že CP = OS = Sen (α), že OC = Cos (α) a že OP = 1, takže předchozí výraz lze přepsat jako funkci sinusového a kosinusového úhlu:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

Osa tečny

Stejně jako osa X v trigonometrické kružnici je kosinusová osa a osa Y sinusová osa, stejným způsobem existuje tangensální osa (viz obrázek 3), která je přesně tečnou čarou k jednotkové kružnici v bodě B souřadnic (1, 0).

Pokud chcete znát hodnotu tečny úhlu, úhel se nakreslí z kladné poloosy X, průsečík úhlu s osou tečny definuje bod Q, délka segmentu OQ je tečnou úhel.

Je to proto, že z definice je tangens úhlu a protilehlá noha QB mezi sousední nohou OB. To znamená, Tan (a) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Obrázek 3. trigonometrický kruh znázorňující osu tangenty a Pythagorovu identitu tangenty. (Vlastní zpracování)

Pythagorova identita tangenta

Pythagorova identita dotyčnice může být prokázána zvážením pravého trojúhelníku OBQ na B (obrázek 3). Při použití Pythagorovy věty na tento trojúhelník máme BQ ² + OB ² = OQ ². Ale již bylo řečeno, že BQ = Tan (α), že OB = 1 a OQ = Sec (α), takže v Pythagorově rovnosti nahradíme za OBQ pravoúhlého trojúhelníku:

Tan ² (a) + 1 = Sec ² (a).

Příklad

Zkontrolujte, zda jsou pythagorovské identity splněny v pravoúhlém trojúhelníku nohou AB = 4 a BC = 3.

Řešení: Nohy jsou známy, je třeba stanovit přeponek, což je:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Úhel ∡BAC se nazývá α, ∡BAC = α. Nyní jsou stanoveny trigonometrické poměry:

Sen a = BC / AC = 3/5

Cos a = AB / AC = 4/5

Takže a = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec a = AC / AB = 5/4

Csc a = AC / BC = 5/3

Začíná základní trigonometrickou identitou:

Sin ² (a) + Cos ² (a) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Byl učiněn závěr, že je splněn.

- Další Pythagorean identita je to tangenty:

Tan ² (a) + 1 = Sec ² (a)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Z toho se vyvozuje závěr, že totožnost dotyčnice je ověřena.

- Podobným způsobem jako u původce:

1 + Ctg ² (a) = Csc ² (a)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Dospělo se k závěru, že je také splněna, čímž byl dokončen úkol ověřování Pythagorovských identit pro daný trojúhelník.

Řešená cvičení

Na základě definic trigonometrických poměrů a Pythagorovy identity dokažte následující identity.

Cvičení 1

Dokažte, že Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Řešení: Na pravé straně rozpoznáváme pozoruhodný produkt násobení binomika jeho konjugátem, což je, jak víme, rozdíl čtverců:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Poté se výraz sine na pravé straně přechází na levou stranu se změnou znaménka:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Vezmeme-li na vědomí, že základní trigonometrická identita byla dosažena, dochází k závěru, že daný výraz je identita, to znamená, že platí pro jakoukoli hodnotu x.

Cvičení 2

Počínaje základní trigonometrickou identitou a používající definice trigonometrických poměrů, demonstrujte Pythagorovu identitu cosecantu.

Řešení: Základní identita je:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Oba členové jsou rozděleni Sen ² (x) a jmenovatel je distribuován do prvního člena:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Je to zjednodušeno:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) je (nepatagorejská) identita, která je ověřena definicí trigonometrických poměrů. Totéž se děje s následující identitou: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Nakonec musíte:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Reference

1. Baldor J. (1973). Rovinná a kosmická geometrie se zavedením trigonometrie. Středoamerický kulturní. AC
2. CEA (2003). Geometrické prvky: s cvičeními a kompasovou geometrií. University of Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Matematika 1. semestr Tacaná. IGER.
5. Geometrie jr. (2014). Polygony. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdůvodnění a aplikace (desáté vydání). Pearsonovo vzdělávání.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakční program.
8. Wikipedia. Trigonometrické identity a vzorce. Obnoveno z: es.wikipedia.com