MAGNETICKÁ INDUKCE: VZORCE, JAK SE POČÍTÁ A PŘÍKLADY - FYZICKÝ - 2025

Magnetická indukce nebo magnetická hustota toku je změněn na životní prostředí způsobený přítomností elektrických proudů. Upravují povahu prostoru, který je obklopuje, a vytvářejí vektorové pole.

Vektorová magnetická indukce, hustota magnetického toku nebo jednoduše magnetické pole B, má tři charakteristické vlastnosti: intenzitu vyjádřenou číselnou hodnotou, směr a také smysl daný v každém bodě v prostoru. Je zvýrazněno tučně, aby se odlišilo od čistě číselných nebo skalárních veličin.

Pravidlo pravého palce k určení směru a smyslu vektoru magnetické indukce. Zdroj: Jfmelero

Pravítko pravého palce se používá k nalezení směru a směru magnetického pole způsobeného proudem přenášejícím drátem, jak je znázorněno na obrázku výše.

Palec pravé ruky by měl směřovat ve směru proudu. Potom rotace čtyř zbývajících prstů označuje tvar B, který je na obrázku znázorněn soustřednými červenými kruhy.

V takovém případě je směr B tangenciální k obvodu soustřednému s drátem a směr je proti směru hodinových ručiček.

Magnetická indukce B v mezinárodním systému se měří Tesla (T), je však častější měřit ji v jiné jednotce zvané Gauss (G). Obě jednotky byly pojmenovány na počest Nikola Tesly (1856-1943) a Carla Friedricha Gaussa (1777-1855) za jejich mimořádný přínos pro vědu o elektřině a magnetismu.

Jaké jsou vlastnosti magnetické indukce nebo hustoty magnetického toku?

Kompas umístěný blízko živého drátu se vždy vyrovná s B. Dánský fyzik Hans Christian Oersted (1777-1851) jako první zaznamenal tento jev na počátku 19. století.

A když se současný stav zastaví, kompas ukazuje jako vždy na geografický sever. Pečlivou změnou polohy kompasu získáte mapu tvaru magnetického pole.

Tato mapa je vždy ve tvaru kruhů soustředných k drátu, jak je popsáno na začátku. Tímto způsobem B.

I když vodič není přímý, vytvoří kolem něj vektor B soustředné kruhy. Chcete-li určit tvar pole, představte si velmi malé segmenty drátu, tak malé, že se jeví jako přímočaré a obklopené soustřednými kruhy.

Linie magnetického pole vytvořené smyčkou drátu nesoucího proud. Zdroj: Pixabay.com

To ukazuje na důležitou vlastnost čar B magnetického pole: nemají začátek ani konec, vždy jsou to uzavřené křivky.

Biot-Savartův zákon

19. století znamenalo začátek věku elektřiny a magnetismu ve vědě. 1820 poblíž francouzských fyziků Jean Marie Biot (1774-1862) a Felix Savartův (1791-1841) objevil zákon, který nese jeho jméno, a že počítá vector B.

Provedli následující pozorování o přínosu do magnetického pole vytvářeného segmentem drátu s rozdílnou délkou dl nesoucím elektrický proud I:

• Velikost B klesá s obrácením druhé mocniny vzdálenosti od drátu (to dává smysl: od drátu musí být intenzita B menší než v sousedních bodech).
• Velikost B je úměrná intenzitě proudu I, který prochází drátem.
• Směr B je tangenciální k kruhu o poloměru r vystředěném na drátu a směr B je dán, jak jsme řekli, pravidlem pravého palce.

Křížový produkt nebo křížový produkt je vhodným matematickým nástrojem k vyjádření posledního bodu. K vytvoření vektorového produktu jsou zapotřebí dva vektory, které jsou definovány takto:

• d l je vektor, jehož velikost je délka diferenciálního segmentu dl
• r je vektor, který jde od drátu k bodu, kde chcete najít pole

Vzorce

To vše lze spojit do matematického výrazu:

Konstanta proporcionality nezbytná pro dosažení rovnosti je magnetická propustnost volného prostoru μ _o = 4π.10 ^-7 Tm / A

Tento výraz je zákonem Biot a Savart, který nám umožňuje vypočítat magnetické pole aktuálního segmentu.

Takový segment musí být zase součástí většího a uzavřenějšího okruhu: distribuce proudu.

Podmínka, že je obvod uzavřen, je nutná pro to, aby proudil elektrický proud. V otevřených obvodech nemůže proudit elektrický proud.

Nakonec, aby se našlo celkové magnetické pole uvedené distribuce proudu, přidají se všechny příspěvky každého diferenciálního segmentu dl. To odpovídá integraci v celé distribuci:

Pro uplatnění zákona Biot-Savart a výpočet magnetického indukčního vektoru je třeba vzít v úvahu některé velmi důležité důležité body:

• Výsledkem křížového produktu mezi dvěma vektory je vždy jiný vektor.

• 

• Je vhodné najít vektorový produkt před přechodem na rozlišení integrálu, potom je integrál každé ze složek získaných samostatně vyřešen.
• Je třeba nakreslit obrázek situace a vytvořit vhodný souřadnicový systém.
• Kdykoli je pozorována existence nějaké symetrie, měla by být použita k uložení času výpočtu.
• Když existují trojúhelníky, Pythagorova věta a kosinova věta jsou užitečné při stanovení geometrického vztahu mezi proměnnými.

Jak se počítá?

S praktickým příkladem výpočtu B pro přímý vodič platí tato doporučení.

Příklad

Vypočítejte vektor magnetického pole, který velmi dlouhý přímočarý drát vytváří v bodě P v prostoru, podle zobrazeného obrázku.

Geometrie nezbytná pro výpočet magnetického pole v bodě P nekonečně dlouhého proudu. Zdroj: vlastní výroba.

Z obrázku musíte:

• Drát je směrován ve svislém směru, přičemž proud I teče nahoru. Tento směr je + y v souřadném systému, jehož počátek je v bodě O.

• 

• V tomto případě, podle pravidla pravého palce, je B v bodě P nasměrována dovnitř papíru, proto je na obrázku označena malým kruhem a „x“. Tato adresa bude považována za -z.
• Pravoúhlého trojúhelníku, jehož nohy jsou Y a R, se týká obou proměnných podle Pythagorovy věty: R ² = R ² + y ²

To vše je nahrazeno integrálem. Křížový produkt nebo kříž je označen svou velikostí plus směr a smysl:

Navržený integrál se nachází v tabulce integrálů nebo je vyřešen vhodnou trigonometrickou substitucí (čtenář může výsledek zkontrolovat pomocí y = Rtg θ):

Výsledek souhlasí s tím, co se očekávalo: velikost pole klesá se vzdáleností R a zvyšuje se úměrně s intenzitou proudu I.

Ačkoli nekonečně dlouhý drát je idealizace, získaný výraz je velmi dobrou aproximací pro pole dlouhého drátu.

Biot a Savartův zákon umožňuje najít magnetické pole dalších vysoce symetrických distribucí, jako je kruhová smyčka nesoucí proud, nebo ohnuté dráty kombinující přímočaré a křivočaré segmenty.

Aby bylo možné analyticky vyřešit navrhovaný integrál, musí mít tento problém vysoký stupeň symetrie. Jinak je alternativou vyřešit integrál numericky.

Reference

1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 2. Mexiko. Cengage Learning Editors. 367-372.