Lineární interpolace je metoda, která pochází obecné Newton interpolace a aproximace pro určení pro neznámou hodnotu, která je mezi dvěma danými čísel; to znamená, že je nalezena střední hodnota. Aplikuje se také na přibližné funkce, kde jsou známy hodnoty f (a) a f (b) a chceme znát meziprodukt f (x).
Existují různé typy interpolace, jako je lineární, kvadratická, krychlová a vyšší stupně, přičemž nejjednodušší je lineární aproximace. Cena, která musí být zaplacena lineární interpolací, je, že výsledek nebude tak přesný jako u aproximací využívajících funkce vyšších stupňů.
Definice
Lineární interpolace je proces, který umožňuje odvodit hodnotu mezi dvěma dobře definovanými hodnotami, které mohou být v tabulce nebo v liniovém grafu.
Pokud například víte, že 3 litry mléka mají hodnotu 4 $ a že 5 litrů má hodnotu 7 $, ale chcete vědět, jaká je hodnota 4 litrů mléka, interpolujte, abyste určili tuto střední hodnotu.
Metoda
Pro odhad střední hodnoty funkce je funkce f (x) aproximována pomocí přímky r (x), což znamená, že funkce se mění lineárně s «x» pro sekci «x = a» a «x = b "; to znamená, že pro hodnotu "x" v intervalu (x 0, x 1) a (y 0, y 1) je hodnota "y" dána přímkou mezi body a je vyjádřena následujícím vztahem:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Aby interpolace byla lineární, musí být interpolační polynom stupně 1 (n = 1), aby odpovídal hodnotám x 0 a x 1.
Lineární interpolace je založena na podobnosti trojúhelníků takovým způsobem, že lze geometricky odvodit z předchozího výrazu hodnotu „y“, což představuje neznámou hodnotu pro „x“.
Tak musíte:
a = tan Ɵ = (protilehlá noha 1 ÷ sousední noha 1) = (protilehlá noha 2 ÷ sousední noha 2)
Vyjádřeno jiným způsobem, je to:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Řešením pro «a» z výrazů máme:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
Takto se získá obecná rovnice pro lineární interpolaci:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Obecně lineární interpolace dává malou chybu na skutečné hodnotě skutečné funkce, i když je chyba minimální ve srovnání s tím, pokud si intuitivně vyberete číslo blízké tomu, které chcete najít.
K této chybě dochází při pokusu o přiblížení hodnoty křivky přímkou; V těchto případech je nutné zmenšit velikost intervalu, aby byla aproximace přesnější.
Pro lepší výsledky týkající se aproximace je vhodné použít interpolaci funkcí stupňů 2, 3 nebo vyšších stupňů. V těchto případech je Taylorova věta velmi užitečným nástrojem.
Řešená cvičení
Cvičení 1
Počet bakterií na jednotku objemu existujících při inkubaci po x hodinách je uveden v následující tabulce. Chcete vědět, jaký je objem bakterií po dobu 3,5 hodiny.
Řešení
Referenční tabulka nestanoví hodnotu, která udává množství bakterií po dobu 3,5 hodiny, ale existují horní a dolní hodnoty odpovídající době 3 a 4 hodiny. Takto:
x 0 = 3 a 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 a 1 = 135
Nyní je použita matematická rovnice k nalezení interpolované hodnoty, která je následující:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Poté se nahradí odpovídající hodnoty:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Takto se získá, že po dobu 3,5 hodiny je počet bakterií 113, což představuje střední hladinu mezi množstvím bakterií existujících v časech 3 a 4 hodiny.
Cvičení 2
Luis má továrnu na zmrzlinu a chce na základě vynaložených nákladů provést studii k určení příjmu, který měl v srpnu. Správce společnosti vytváří graf, který vyjadřuje tento vztah, ale Luis chce vědět:
Jaký je příjem za srpen, pokud vznikly výdaje ve výši 55 000 $?
Řešení
Je uveden graf s hodnotami příjmů a výdajů. Luis chce vědět, jaký je příjem za srpen, pokud továrna měla náklady 55 000 dolarů. Tato hodnota se přímo neodráží v grafu, ale hodnoty jsou vyšší a nižší než tato hodnota.
Nejprve se vytvoří tabulka, kde lze snadno porovnat hodnoty:
Nyní se k určení hodnoty y použije interpolační vzorec
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Poté se nahradí odpovídající hodnoty:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 $.
Pokud byl v srpnu vynaložen náklad 55 000 $, byl příjem 68 936 USD.
Reference
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
- Harpe, P. d. (2000). Témata v teorii geometrických skupin. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineární interpolace ", Encyklopedie matematiky.
- , JM (1998). Prvky numerických metod pro strojírenství. UASLP.
- , E. (2002). Chronologie interpolace: od starověké astronomie po moderní zpracování signálu a obrazu. Jednání IEEE.
- numerický, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.