MATEMATICKÁ LOGIKA: PŮVOD, CO STUDUJE, TYPY - MATEMATIKA - 2025

Matematická logika nebo symbolická logika je matematický jazyk, který se vztahuje na nástroje, jehož prostřednictvím je možné potvrdit nebo vyvrátit matematického uvažování.

Je dobře známo, že v matematice nejsou dvojznačnosti. Vzhledem k matematickému argumentu je buď platný, nebo prostě není. Nemůže to být falešné a pravdivé zároveň.

Specifickým aspektem matematiky je to, že má formální a přísný jazyk, podle kterého lze určit platnost argumentu. Co způsobuje nezvratnost určitých úvah nebo matematických důkazů? Právě o tom je matematická logika.

Logika je tedy disciplína matematiky, která je zodpovědná za studium matematických úvah a důkazů a poskytuje nástroje, aby bylo možné odvodit správný závěr z předchozích prohlášení nebo návrhů.

K tomu se používají axiomy a další matematické aspekty, které se budou rozvíjet později.

Původ a historie

Přesná data s ohledem na mnoho aspektů matematické logiky jsou nejistá. Většina bibliografií na toto téma však sleduje jeho původ až do starověkého Řecka.

Aristoteles

Začátek přísného zacházení s logikou je zčásti přičítán Aristotelovi, který do středověku psal soubor logických děl, která byla později sestavována a rozvíjena různými filozofy a vědci. To lze považovat za „starou logiku“.

Pozdnější, v čem je známý jako současný věk, Leibniz, dojatý hlubokou touhou založit univerzální jazyk rozumně matematicky, a jiní matematici takový jako Gottlob Frege a Giuseppe Peano, pozoruhodně ovlivňoval vývoj matematické logiky s velkými příspěvky mezi nimi Peano Axioms, které formulují nepostradatelné vlastnosti přirozených čísel.

Matematici George Boole a Georg Cantor byli také velmi vlivní v této době, s důležitými příspěvky v teorii množin a pravdivostních tabulkách, zdůrazňujících mimo jiné aspekty, Boolean Algebra (George Boole) a Axiom of Choice (George Cantor).

Existuje také Augustus De Morgan se známými morganskými zákony, které uvažují o negacích, spojováních, rozpojeních a podmíněnostech mezi výroky, klíče k vývoji symbolické logiky a Jhon Venn se slavnými Vennovými diagramy.

V 20. století, přibližně mezi lety 1910 a 1913, Bertrand Russell a Alfred North Whitehead vynikají vydáním knihy Principia Mathatica, souboru knih, který shromažďuje, vyvíjí a postuluje řadu axiomů a výsledků logiky.

Co studuje matematická logika?

Propozice

Matematická logika začíná studiem propozic. Návrh je prohlášení, které bez nejasností můžete říci, zda je to pravda nebo ne. Zde jsou příklady návrhů:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• V roce 1930 došlo v Evropě k zemětřesení.

První je pravdivé tvrzení a druhé je nepravdivé tvrzení. Třetí, i když osoba, která si ho přečte, nemusí vědět, zda je pravdivá nebo okamžitě, je prohlášení, které lze otestovat a určit, zda se to skutečně stalo.

Níže jsou uvedeny příklady výrazů, které nejsou výroky:

• Je blondýna.
• 2x = 6.
• Pojďme hrát!
• Máš rád filmy

V prvním výroku není stanoveno, kdo "ona" je, proto nelze nic potvrdit. Ve druhém návrhu nebylo uvedeno, co „x“ představuje. Kdyby místo toho bylo řečeno, že 2x = 6 pro nějaké přirozené číslo x, v tomto případě by to odpovídalo tvrzení, ve skutečnosti pravda, protože pro x = 3 je splněno.

Poslední dvě výroky neodpovídají výroku, protože neexistuje způsob, jak je popřít nebo potvrdit.

Dva nebo více propozic lze kombinovat (nebo spojit) pomocí dobře známých logických konektorů (nebo konektorů). Tyto jsou:

• Popření: "Ne prší."
• Disjunkce: „Luisa koupila bílou nebo šedou tašku.“
• Spojení: "4 ² = 16 a 2 × 5 = 10".
• Podmíněné: „Pokud prší, dnes odpoledne nejdu do posilovny.“
• Biconditional: „Dnes odpoledne chodím do posilovny, a to jen tehdy, když neprší.“

Tvrzení, které nemá žádné z předchozích spojivek, se nazývá jednoduché (nebo atomové) tvrzení. Například „2 je menší než 4“ je jednoduchý návrh. Výroky, které mají nějaké pojivové, se nazývají složené výroky, například „1 + 3 = 4 a 4 je sudé číslo.“

Prohlášení učiněná prostřednictvím propozic jsou obvykle dlouhá, takže je únavné je vždy psát tak, jak je vidět dosud. Z tohoto důvodu se používá symbolický jazyk. Propozice jsou obvykle reprezentovány velkými písmeny, jako jsou P, Q, R, S atd. A symbolické spojnice takto:

Aby

Hovořit o podmíněném propozice

je návrh

A kontrar reciproční (nebo protichůdný) výroku

je návrh

Pravdivé tabulky

Další důležitý koncept v logice je koncept pravdivých tabulek. Hodnoty pravdy výroku jsou dvě možnosti výroku: true (což bude označeno V a bude řečeno, že jeho pravdivostní hodnota je V) nebo false (což bude označeno F a bude řečeno, že jeho hodnota opravdu je F).

Hodnota pravdy složené nabídky závisí výhradně na hodnotách pravdy jednoduchých tvrzení, která se v ní objevují.

Pro obecnější práci nebudeme brát v úvahu konkrétní propozice, ale propoziční proměnné p, q, r, s atd., Které budou představovat jakékoli propozice.

S těmito proměnnými a logickými spojkami se vytvářejí dobře známé výrokové vzorce, stejně jako se vytvářejí složené výroky.

Pokud je každá z proměnných, které se objevují v propozičním vzorci, nahrazena propozicí, získá se složená propozice.

Níže jsou uvedeny tabulky pravdy pro logické spojnice:

Existují výrokové vzorce, které ve své tabulce pravdy přijímají pouze hodnotu V, to znamená, že poslední sloupec jejich tabulky pravdivosti má pouze hodnotu V. Tyto typy vzorců jsou známé jako tautologie. Například:

Následuje tabulka pravdy vzorce

Vzorec a má logicky naznačovat další vzorec β, pokud α je pravdivé pokaždé, když je β pravdivé. To znamená, že v tabulce pravdivosti α a β mají řádky, ve kterých α má V, β, i V. Zajímáme se pouze o řádky, ve kterých α má hodnotu V. Zápis pro logickou implikaci je následující:

Následující tabulka shrnuje vlastnosti logické implikace:

Má se za to, že dva výrokové vzorce jsou logicky ekvivalentní, pokud jsou jejich tabulky pravdy identické. K vyjádření logické ekvivalence se používá následující zápis:

Následující tabulky shrnují vlastnosti logické ekvivalence:

Typy matematické logiky

Existují různé typy logiky, zejména pokud vezmeme v úvahu pragmatickou nebo neformální logiku, která poukazuje mimo jiné na filozofii.

Pokud jde o matematiku, typy logiky lze shrnout takto:

• Formální nebo aristotelská logika (starověká logika).
• Propoziční logika: odpovídá za studium všeho, co se týká platnosti argumentů a návrhů, za použití formálního a symbolického jazyka.
• Symbolická logika: zaměřená na studium množin a jejich vlastností, také s formálním a symbolickým jazykem, a je hluboce spjata s výrokovou logikou.
• Kombinatorická logika: jedna z posledních vyvinutých, zahrnuje výsledky, které lze vyvinout pomocí algoritmů.
• Logické programování: používá se v různých balíčcích a programovacích jazycích.

Oblasti

Mezi oblasti, které využívají matematickou logiku nepostradatelným způsobem při vývoji svých argumentů a argumentů, vynikají filozofie, teorie množin, teorie čísel, algebraická konstruktivní matematika a programovací jazyky.

Reference

1. Aylwin, UK (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pro publikace, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teorie čísel. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Základní kurz teorie čísel. Severní univerzita.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Jak rozvíjet matematické logické uvažování. Vydavatelství univerzity.
5. Zaragoza, AC (sf). Teorie čísel Editorial Vision Libros.