FERMAT LIMIT: Z ČEHO SE SKLÁDÁ A CVIČENÍ ŘEŠENA - MATEMATIKA - 2025

Mez Fermat je numerická metoda použita pro získání hodnoty sklonu čáry, která je tečnou k funkci v určitém okamžiku v jeho doméně. Používá se také k získání kritických bodů funkce. Jeho výraz je definován jako:

Je zřejmé, že Fermat neznal základy derivace, nicméně to byly jeho studie, které vedly skupinu matematiků k dotazování na tečné linie a jejich aplikace v počtu.

Co je limit Fermat?

Skládá se z přiblížení 2 bodů, které v předchozích podmínkách tvoří sečitou linii funkce s průnikem v párech hodnot.

Přiblížením proměnné k hodnotě „a“ je pár bodů nucen se setkat. Tímto způsobem se dříve sečitá čára stane tečnou k bodu (a; f (a)).

Hodnota kvocientu (x - a), pokud je vyhodnocena v bodě „a“, dává neurčenost mezí typu K mezi nulou (K / 0). Tam, kde lze pomocí různých faktoringových technik tyto indeterminace narušit.

Nejčastěji používané provozní techniky jsou:

- Rozdíl čtverců (a ² - b ²) = (a + b) (a - b); Existence prvku (a - b) ve většině případů zahrnuje faktor, který zjednodušuje výraz (x - a) v kvocientu Fermatova limitu.

- doplnění čtverců (ax ² + bx); Po vyplnění čtverců se získá Newtonův binomial, kde jeden z jeho 2 faktorů je zjednodušen výrazem (x - a), což narušuje neurčitost.

- konjugát (a + b) / (a ​​+ b); Násobení a dělení výrazu konjugátem některého faktoru může být velkou pomocí při rozrušení neurčitosti.

- společný faktor; V mnoha případech výsledek ovládání čitatele limitu Fermat f (x) - f (a) skryje faktor (x - a) potřebný pro faktor. Z tohoto důvodu je pečlivě pozorováno, které prvky se opakují v každém faktoru výrazu.

Použití limitu Fermat pro maxima a minima

I když Fermatův limit nerozlišuje mezi maximy a minimy, protože podle své definice dokáže identifikovat pouze kritické body, běžně se používá při výpočtu stropů nebo podlaží funkcí v rovině.

Základní znalost grafické teorie funkcí ve spojení s touto teorémem může být dostatečná pro stanovení maximálních a minimálních hodnot mezi funkcemi. Ve skutečnosti lze inflexní body definovat pomocí věty o střední hodnotě kromě Fermatovy věty.

Kubické podobenství

Nejvýznamnějším paradoxem pro Fermata bylo studium krychlové paraboly. Protože jeho pozornost byla zaměřena na tečné linie funkce pro daný bod, narazil na problém definování dotyčné linie v bodě inflexe funkce.

Zdálo se nemožné určit tečnou čáru k bodu. Tak začíná šetření, které by vedlo k diferenciálnímu počtu. Definováno později významnými exponenty matematiky.

Maximus a minimální

Studium maxim a minim funkce bylo výzvou pro klasickou matematiku, kde k jejich definování byla zapotřebí jednoznačná a praktická metoda.

Fermat vytvořil metodu založenou na fungování malých diferenciálních hodnot, které jsou po faktoringových procesech eliminovány, což dává přednost maximální a minimální požadované hodnotě.

Tato proměnná bude muset být vyhodnocena v původním výrazu, aby se určila souřadnice uvedeného bodu, která bude spolu s analytickými kritérii definována jako maximum nebo minimum výrazu.

Metoda

Ve své metodě Fermat používá doslovnou symboliku Vieta, která spočívala ve výhradním použití velkých písmen: samohlásky, pro neznámé a souhlásky pro známá množství.

V případě radikálních hodnot provedl Fermat konkrétní proces, který by později byl použit při faktorizaci mezí neurčitosti nekonečna mezi nekonečnem.

Tento proces spočívá v rozdělení každého výrazu hodnotou použitého rozdílu. V případě Fermata použil písmeno E, kde po dělení nejvyšší mocí E se hledaná hodnota kritického bodu stala rozebíratelnou.

Dějiny

Fermatův limit je ve skutečnosti jedním z nejméně známých příspěvků v dlouhém seznamu matematika. Jeho studia šla od prvočísel k zásadnímu vytvoření základu pro výpočet.

Fermat byl zase známý svými výstřednostmi, pokud jde o jeho hypotézy. Bylo pro něj běžné nechat takovou výzvu i jiným matematikům té doby, kdy už měl řešení nebo důkaz.

Měl celou řadu sporů a spojenectví s různými matematiky té doby, kteří s ním pracovali buď rádi, nebo nenáviděli.

Jeho poslední věta byla hlavní odpovědností za jeho celosvětovou slávu, kde prohlásil, že zobecnění Pythagorovy věty pro jakýkoli stupeň „n“ není možné. Tvrdil, že o tom má platný důkaz, ale zemřel před zveřejněním.

Tato demonstrace musela čekat přibližně 350 let. V roce 1995 matematici Andrew Wiles a Richard Taylor ukončili úzkost, kterou zanechal Fermat, což dokazuje, že měl pravdu prostřednictvím platného důkazu o své poslední větě.

Cvičení

Cvičení 1

Definujte sklon tečné čáry ke křivce f (x) = x ² v bodě (4, 16)

Ve výrazu Fermatova limitu máme:

Faktory (x - 4) jsou zjednodušeny

Při hodnocení máte

M = 4 + 4 = 8

Cvičení 2

Definujte kritický bod výrazu f (x) = x ² + 4x pomocí limitu Fermat

Provádí se strategické seskupení prvků, které se snaží seskupit páry XX ₀

Nejmenší čtverce jsou vyvinuty

Sledujte společný faktor XX _{0 a extrahujte}

Výraz lze nyní zjednodušit a neurčitost rozbít

V minimálních bodech je známo, že sklon tečné čáry je roven nule. Tímto způsobem můžeme vyrovnat výraz nalezený na nulu a vyřešit pro hodnotu X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

K získání chybějící souřadnice je nutné pouze vyhodnotit bod v původní funkci

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = -4

Kritickým bodem je P (-2, -4).

Reference

1. Skutečná analýza. Historický přístup Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, 5. srpna. 1999.
2. Matematická kariéra Pierra de Fermata, 1601-1665: Druhé vydání. Michael Sean Mahoney. Princeton University Press, 5. června. 2018
3. Od Fermata po Minkowského: Přednášky o teorii čísel a jejím historickém vývoji. W. Scharlau, H. Opolka, Springer Science & Business Media, 1985
4. Fermatova poslední věta: Genetický úvod do algebraické teorie čísel. Harold M. Edwards. Springer Science & Business Media, 14. ledna 2000
5. Fermat Days 85: Mathematics for Optimization. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, 1. ledna. 1986