KEPLEROVY ZÁKONY: VYSVĚTLENÍ, CVIČENÍ, EXPERIMENT - FYZICKÝ - 2025

V Kepler ‚s zákony planetárního pohybu byly vyrobeny v německém astronom Johannes Kepler (1571-1630). Kepler je odvodil na základě práce svého učitele dánského astronoma Tycha Braheho (1546-1601).

Brahe pečlivě sestavil data planetárních pohybů za více než 20 let, s překvapivou přesností a přesností, vzhledem k tomu, že v té době ještě nebyl dalekohled vynalezen. Platnost vašich údajů zůstává platná i dnes.

Obrázek 1. Oběžné dráhy planet podle Keplerových zákonů. Zdroj: Wikimedia Commons. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

Keplerovy 3 zákony

Keplerovy zákony uvádějí:

První zákon: všechny planety popisují eliptické oběžné dráhy se Sluncem v jednom z ohnisek.

To znamená, že poměr T ² / R ³ je stejný pro všechny planety, díky němuž je možné vypočítat orbitální poloměr, v případě, že oběžná doba je známa.

Když je T vyjádřeno v letech ar v astronomických jednotkách AU *, konstanta proporcionality je k = 1:

* Astronomická jednotka se rovná 150 milionům kilometrů, což je průměrná vzdálenost mezi Zemí a Sluncem. Oběžná doba Země je 1 rok.

Zákon univerzální gravitace a Keplerův třetí zákon

Univerzální gravitační zákon uvádí, že velikost gravitační síly přitažlivosti mezi dvěma objekty hmot M a m, jejichž středy jsou odděleny vzdáleností r, je dána:

G je univerzální konstantní gravitace a jeho hodnota je G = 6,674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ².

Oběžné dráhy planet jsou nyní eliptické s velmi malou excentricitou.

To znamená, že oběžná dráha není příliš daleko od obvodu, s výjimkou některých případů, jako je trpasličí planeta Pluto. Pokud přiblížíme oběžné dráhy k kruhovému tvaru, zrychlení pohybu planety je:

Protože F = ma, máme:

Zde v je lineární rychlost planety kolem Slunce, předpokládaná statika a hmotnost M, zatímco rychlost planety je m. Tak:

To vysvětluje, že planety dále od Slunce mají nižší orbitální rychlost, protože to závisí na 1 / √r.

Protože vzdálenost, kterou planeta urazí, je přibližně délka obvodu: L = 2πr a zabírá to čas rovnající se T, orbitální periodě, získáme:

Vyrovnáním obou výrazů pro v je platný výraz pro T ², čtverec orbitální periody:

A právě třetí Keplerův zákon, protože v tomto výrazu závorka 4π ² / g je konstantní, tedy T ² je úměrná vzdálenosti r krychlový.

Konečná rovnice pro orbitální období se získá tak, že se vezme druhá odmocnina:

Obrázek 3. Aphelion a perihelion. Zdroj: Wikimedia Commons. Pearson Scott Foresman / Public domain

Proto nahradíme r v Keplerově třetím právu, což má za následek Halleyho v:

B. Řešení

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

Experiment

Analýza pohybu planet vyžaduje týdny, měsíce a dokonce roky pečlivého pozorování a záznamu. V laboratoři je ale možné provést velmi jednoduchý experiment ve velmi jednoduchém měřítku, aby se prokázalo, že Keplerův zákon rovných oblastí platí.

To vyžaduje fyzický systém, ve kterém je síla, která hnutí řídí, ústřední, což je dostatečná podmínka pro splnění zákona oblastí. Takový systém sestává z hmoty vázané na dlouhé lano, přičemž druhý konec závitu je připevněn k podpěře.

Hmota se pohybuje z malého rovnovážného úhlu a dává mírný impuls, takže v horizontální rovině provádí oválný (téměř eliptický) pohyb, jako by to byla planeta kolem Slunce.

Na křivce popsané kyvadlem můžeme prokázat, že zametá stejné oblasti ve stejných časech, pokud:

- Uvažujeme poloměry vektoru, které jdou od středu přitažlivosti (počáteční bod rovnováhy) do polohy hmoty.

- Zametáme mezi dvěma po sobě jdoucími okamžiky stejného trvání ve dvou různých oblastech pohybu.

Čím delší je kyvadlo a čím menší je úhel od svislice, obnovovací síla sítě bude vodorovnější a simulace se podobá případu pohybu s centrální silou v rovině.

Poté se popsaný ovál přiblíží k elipse, jako je ta, kterou planety cestují.

materiály

- Rozšiřitelné vlákno

-1 hmota nebo kovová koule namalovaná bíle, která působí jako kyvadlo

-Pravítko

-Dopravník

-Fotografická kamera s automatickým bleskovým diskem

-Podpory

- Dva zdroje osvětlení

- List z černého papíru nebo lepenky

Proces

Sestavení postavy je nutné k fotografování několika záblesků kyvadla, jak to sleduje jeho cestu. Za tímto účelem musíte umístit kameru těsně nad kyvadlo a automatický stroboskopický disk před objektiv.

Obrázek 4. Sestavení kyvadla pro kontrolu, zda zametá stejné oblasti ve stejných časech. Zdroj: PSSC Laboratory Guide.

Tímto způsobem jsou obrázky získávány v pravidelných časových intervalech kyvadla, například každých 0,1 nebo každých 0,2 sekundy, což nám umožňuje vědět, kolik času trvalo, než se pohyboval z jednoho bodu do druhého.

Musíte také správně osvětlit hmotnost kyvadla a umístit světla na obě strany. Čočka by měla být natřena bíle, aby se zlepšil kontrast na pozadí, který se skládá z černého papíru rozloženého na zemi.

Nyní musíte zkontrolovat, zda kyvadlo zametá stejné oblasti ve stejných časech. Za tímto účelem je vybrán časový interval a body obsažené kyvadlem v tomto intervalu jsou vyznačeny na papíře.

Na obrázku je nakreslena čára od středu oválu k těmto bodům, a tak budeme mít první z oblastí zametaných kyvadlem, což je přibližně eliptický sektor, jako je ten uvedený níže:

Obrázek 5. Oblast eliptického sektoru. Zdroj: F. Zapata.

Výpočet plochy eliptické sekce

S úhloměrem se měří úhly 9 _o a 9 ₁ a tento vzorec se používá k nalezení S, oblasti eliptického sektoru:

S F (θ) dané:

Všimněte si, že aab jsou hlavní a vedlejší poloosy. Čtenář se musí starat pouze o pečlivé měření poloosy a úhlů, protože existují kalkulačky online, které tento výraz snadno vyhodnotí.

Pokud však trváte na ručním výpočtu, nezapomeňte, že úhel 9 se měří ve stupních, ale při zadávání dat do kalkulačky musí být hodnoty vyjádřeny v radiánech.

Pak musíte označit další dvojici bodů, ve kterých kyvadlo převrátilo stejný časový interval, a nakreslit odpovídající oblast a vypočítat její hodnotu stejným postupem.

Ověření zákona stejných oblastí

Konečně zbývá ověřit, zda je zákon o oblastech splněn, to znamená, že stejné oblasti jsou zameteny ve stejných časech.

Liší se výsledky od toho, co se očekávalo? Vždy je třeba mít na paměti, že všechna měření jsou doprovázena jejich experimentální chybou.

Reference

1. Online kalkulačka Keisan. Oblast kalkulačky eliptického sektoru. Obnoveno z: keisan.casio.com.
2. Openstax. Keplerův zákon planetárního pohybu. Obnoveno z: openstax.org.
3. PSSC. Laboratorní fyzika. Redakční reverté. Obnoveno z: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. Astronomy. Série Schaum. McGraw Hill.
5. Pérez R. Jednoduchý systém s centrální silou. Obnoveno z: francesphysics.blogspot.com
6. Stern, D. Keplerovy tři zákony planetárního pohybu. Obnoveno z: phy6.org.