ZÁKONY EXPONENTŮ (S PŘÍKLADY A ŘEŠENÝMI CVIKY) - MATEMATIKA - 2025

Tyto zákony exponenty jsou ty, které se vztahují k tomuto číslu, které udává, kolikrát musí být základna číslo vynásobí sám. Exponenti jsou také známí jako síly. Zmocnění je matematická operace tvořená základnou (a), exponentem (m) a silou (b), která je výsledkem operace.

Exponenty se obecně používají, když se používají velmi velká množství, protože to nejsou nic jiného než zkratky, které představují násobení stejného čísla v určitém množství časů. Exponenti mohou být pozitivní i negativní.

Vysvětlení zákonů exponentů

Jak bylo uvedeno výše, exponenty jsou zkratková forma, která představuje násobení čísel sama o sobě vícekrát, kde se exponent týká pouze čísla vlevo. Například:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

V takovém případě číslo 2 je základna síly, která bude vynásobena třikrát, jak je naznačeno exponentem, umístěným v pravém horním rohu základny. Existuje několik způsobů, jak číst výraz: 2 zvednuté na 3 nebo také 2 zvednuté na krychli.

Exponenty také uvádějí, kolikrát je lze rozdělit, a pro rozlišení této operace od násobení má exponent před znaménkem mínus (-) (je to negativní), což znamená, že exponent je ve jmenovateli zlomek. Například:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

To by nemělo být zaměňováno s případem, kdy je báze záporná, protože bude záležet na tom, zda je exponent lichý nebo dokonce na určení, zda bude moc pozitivní nebo negativní. Musíte tedy:

- Pokud je exponent sudý, bude moc pozitivní. Například:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Pokud je exponent lichý, bude moc záporná. Například:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Existuje zvláštní případ, že pokud je exponent roven 0, výkon je roven 1. Existuje také možnost, že základna je 0; v takovém případě bude v závislosti na exponentu energie neurčitá nebo ne.

Pro provádění matematických operací s exponenty je nutné dodržovat několik pravidel nebo norem, které usnadňují nalezení řešení těchto operací.

První zákon: moc exponenta rovna 1

Když exponent je 1, výsledkem bude stejná hodnota základny: a ¹ = a.

Příklady

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Druhý zákon: moc exponentu rovná 0

Pokud je exponent 0, je-li základna nenulová, bude výsledkem: a ⁰ = 1.

Příklady

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Třetí zákon: negativní exponent

Protože exponát je negativní, výsledkem bude zlomek, kde moc bude jmenovatelem. Pokud je například m kladné, pak ^-m = 1 / a ^m.

Příklady

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Čtvrtý zákon: násobení pravomocí se stejnou základnou

Chcete-li znásobit síly, kde jsou báze stejné a odlišné od 0, zůstává báze a jsou přidány exponenty: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n}.

Příklady

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Pátý zákon: rozdělení pravomocí se stejnou základnou

Aby se rozdělily síly, ve kterých jsou báze stejné a odlišné od 0, je báze udržována a exponenty jsou odečteny následovně: a ^m / a ⁿ = a ^m-n.

Příklady

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹.

- 6 ¹⁵ /6 ^říjen = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49 ^prosinec / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

Šestý zákon: množení pravomocí s různou základnou

Tento zákon má opak toho, co je vyjádřeno ve čtvrtém; to znamená, že pokud máte různé báze, ale se stejnými exponenty, jsou báze násobeny a exponent je udržován: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

Příklady

- 10 ² _* 20 ² = (10 _x 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

Dalším způsobem, jak tento zákon reprezentovat, je, když je násobení zvýšeno na moc. Exponent tedy bude patřit ke každému z výrazů: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m.

Příklady

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

Sedmé právo: rozdělení pravomocí s různou základnou

Pokud máte různé základny, ale se stejnými exponenty, rozdělte je a ponechte exponenta: a ^m / b ^m = (a / b) ^m.

Příklady

- 30 ³ /2 ³ = (2/30), ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80), ⁴ = 5,5 ⁴.

Podobně, když je dělení zvýšeno na moc, bude exponent patřit do každého z výrazů: (a / b) ^m = a ^m / b ^m.

Příklady

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5), ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

Existuje případ, kdy je exponent negativní. Pak, aby byla kladná, je hodnota čitatele převrácena s hodnotou jmenovatele takto:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4), ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

Osmý zákon: síla moci

Když máte sílu, která je zvýšena na jinou moc - to znamená, že jsou dva exponenty současně -, základna je udržována a exponenty jsou násobeny: (a ^m) ⁿ = a ^{m * n}.

Příklady

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (13 ⁹), ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

Devátý zákon: zlomkový exponent

Pokud má síla zlomek jako exponent, je to vyřešeno jeho transformací do n-tého kořene, kde čitatel zůstává jako exponent a jmenovatel představuje index kořene:

Příklad

Řešená cvičení

Cvičení 1

Vypočítat operace mezi silami, které mají různé základy:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

Řešení

Při použití pravidel exponentů se základny v čitateli vynásobí a exponent se udržuje takto:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Nyní, protože máme stejné základny, ale s různými exponenty, je základna udržována a exponenty jsou odečteny:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Cvičení 2

Vypočítejte operace mezi silami získanými na jinou moc:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

Řešení

Při uplatňování zákonů musíte:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

Reference

1. Aponte, G. (1998). Základy základní matematiky. Pearsonovo vzdělávání.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika aplikovaná na každodenní život.
3. Jiménez, JR (2009). Math 1 SEP.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra a trigonometrie.
5. Rees, PK (1986). Reverte.