MORGANSKÉ ZÁKONY - MATEMATIKA - 2025

L oči Morgan jsou odvozovací pravidla používaná ve výrokové logiky, které stanoví, co je výsledkem odepření disjunkce a konjunkce výroků či výrokové proměnné. Tyto zákony byly definovány matematikem Augustusem De Morganem.

Morganovy zákony představují velmi užitečný nástroj k prokázání platnosti matematického uvažování. Později byly zevšeobecněny v konceptu sad matematik George Boole.

Tato zobecnění provedené Booleem je zcela rovnocenné počátečním Morganovým zákonům, ale je vyvinuto speciálně pro sady, nikoli pro návrhy. Tato zobecnění se také nazývá Morganovy zákony.

Přezkum výrokové logiky

Než se podíváme na to, co konkrétně jsou Morganovy zákony a jak jsou používány, je užitečné si zapamatovat některé základní pojmy výrokové logiky. (Více podrobností viz článek o výrokové logice).

V oblasti matematické (nebo výrokové) logiky je odvození závěr, který je vydán ze souboru prostor nebo hypotéz. Tento závěr, společně s výše uvedenými předpoklady, dává vzniknout tzv. Matematickému uvažování.

Takové odůvodnění musí být prokazatelné nebo zamítnuté; to znamená, že ne všechny závěry nebo závěry v matematickém uvažování jsou platné.

Klam

Klamný závěr z určitých hypotéz, o nichž se předpokládá, že jsou pravdivé, se označuje jako klam. Fallaci mají zvláštnost, že jsou argumenty, které se zdají správné, ale matematicky to tak není.

Propoziční logika je přesně zodpovědná za vývoj a poskytování metod, pomocí kterých lze bez jakýchkoli nejasností potvrdit nebo vyvrátit matematické zdůvodnění; to znamená, vyvodit platný závěr z prostor. Tyto metody jsou známé jako inferenční pravidla, kterých jsou Morganovy zákony součástí.

Propozice

Základními prvky výrokové logiky jsou výroky. Propozice jsou prohlášení, která lze považovat za platná či nikoli, ale nemohou být pravdivá nebo nepravdivá zároveň. V této záležitosti by nemělo dojít k dvojznačnosti.

Stejně jako čísla mohou být kombinována pomocí operací sčítání, odčítání, násobení a dělení, návrhy mohou být ovládány pomocí známých logických spojek (nebo konektorů): negace (¬, „ne“), disjunkce (V, „Nebo“), spojení (Ʌ, „a“), podmíněné (→, „pokud…, pak…“) a dvoustranné (↔, „pouze a pouze pokud“).

Abychom pracovali obecněji, namísto zvažování konkrétních propozic jsou zvažovány propoziční proměnné představující jakékoli propozice a obvykle jsou označeny malými písmeny p, q, r, s atd.

Výroková formule je kombinací výrokových proměnných pomocí některých logických spojiv. Jinými slovy, jedná se o složení výrokových proměnných. Obvykle jsou označeny řeckými písmeny.

Říká se, že výroková formule logicky implikuje další, když je druhá pravdivá pokaždé, když je první pravdivá. Označuje to:

Když je logická implikace mezi dvěma výrokovými formami reciproční - to znamená, že když předchozí implikace platí také v opačném smyslu - vzorce jsou označovány jako logicky ekvivalentní a označují se

Logická rovnocennost je druh rovnosti mezi výrokovými formulemi a umožňuje, aby byl v případě potřeby nahrazen jiným.

Morganovy zákony

Morganovy zákony sestávají ze dvou logických ekvivalencí mezi dvěma výrokovými formami, jmenovitě:

Tyto zákony umožňují oddělit negaci disjunkce nebo spojky jako negaci příslušných proměnných.

První lze číst takto: negace disjunkce se rovná spojení negací. A druhý zní takto: negace spojení je disjunkcí negací.

Jinými slovy, popření disjunkce dvou výrokových proměnných je ekvivalentem spojení negací obou proměnných. Stejně tak je popření spojení dvou výrokových proměnných rovnocenné disjunkci negací obou proměnných.

Jak již bylo zmíněno dříve, nahrazení této logické rovnocennosti pomáhá dokázat důležité výsledky a další existující odvozovací pravidla. S nimi můžete zjednodušit mnoho výrokových vzorců, aby byly užitečnější pro práci s nimi.

Následuje příklad matematického důkazu používajícího odvozovací pravidla, včetně Morganových zákonů. Konkrétně se ukazuje, že vzorec:

Je to ekvivalent k:

Ta je jednodušší pochopit a rozvíjet.

Demonstrace

Stojí za zmínku, že platnost Morganových zákonů lze prokázat matematicky. Jedním ze způsobů je porovnání vašich tabulek pravdy.

Sady

Stejná pravidla odvozování a pojmy logiky aplikované na propozice mohou být také vyvinuty s ohledem na množiny. To je to, co se nazývá booleovská algebra, po matematikovi George Booleovi.

Pro rozlišení případů je nutné změnit notaci a přenos do množin, všechny již viděné pojmy výrokové logiky.

Sada je kolekce objektů. Množiny jsou označeny velkými písmeny A, B, C, X,… a prvky množiny jsou označeny malými písmeny a, b, c, x atd. Když prvek a patří do množiny X, označuje se:

Pokud nepatří do X, je notace:

Způsob, jak reprezentovat množiny, je umístění jejich prvků do složených závorek. Například množinu přirozených čísel představuje:

Sady lze také reprezentovat bez zápisu explicitního seznamu jejich prvků. Mohou být vyjádřeny ve formě {:}. Dvojtečka se čte „tak, že“. Vlevo od dvou bodů je umístěna proměnná představující prvky množiny a na pravé straně je umístěna vlastnost nebo podmínka, které splňují. Tohle je:

Například množinu celých čísel větších než -4 lze vyjádřit jako:

Nebo rovnocenně a ve zkratce:

Podobně následující výrazy představují sady lichých a sudých čísel:

Spojení, průnik a doplňky množin

Dále uvidíme analoga logických spojiv v případě množin, které jsou součástí základních operací mezi množinami.

Spojení a průnik

Spojení a průnik sad jsou definovány následovně:

Zvažte například sady:

Takže musíte:

Doplněk

Doplněk sady je tvořen prvky, které nepatří k uvedené sadě (stejného typu, který představuje původní). Doplněk množiny A je označen:

Například v rámci přirozených čísel je doplňkem množiny sudých čísel lichá čísla a naopak.

K určení doplňku souboru musí být univerzální nebo hlavní sada uvažovaných prvků od začátku jasná. Například není stejné považovat doplněk množiny nad přirozenými čísly za racionální čísla.

Následující tabulka ukazuje vztah nebo analogii, která existuje mezi operacemi na dříve definovaných sadách a spojkami výrokové logiky:

Morganovy zákony pro sady

Konečně, Morganovy zákony o souborech jsou:

Slovy: doplněk spojení je průnikem doplňků a doplňkem průniku je spojení doplňků.

Matematický důkaz první rovnosti by byl následující:

Důkaz druhého je analogický.

Reference

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Redakční Limusa.
2. Aylwin, UK (2011). Logika, množiny a čísla. Mérida - Venezuela: Rada pro publikace, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Úvod do teorie čísel. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Základní kurz teorie čísel. Severní univerzita.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Jak rozvíjet matematické logické uvažování. Vydavatelství univerzity.
6. Guevara, MH (nd). Teorie čísel. EUNED.
7. Zaragoza, AC (sf). Teorie čísel Editorial Vision Libros.