EULEROVA METODA: K ČEMU SLOUŽÍ, POSTUP A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Eulerova metoda je nejjednodušší a jednoduché postupy používané k nalezení numerická řešení přibližné na obyčejné diferenciální rovnice v prvním pořadí, za předpokladu, že počáteční stav je znám.

Normální diferenciální rovnice (ODE) je rovnice, která spojuje neznámou funkci jediné nezávislé proměnné s jejími deriváty.

Postupné aproximace Eulerovou metodou. Zdroj: Oleg Alexandrov

Pokud je největší derivát, který se objeví v rovnici, stupeň jedna, pak je to obyčejná diferenciální rovnice prvního stupně.

Nejobecnější způsob, jak napsat rovnici prvního stupně, je:

x = x ₀

y = y ₀

Co je Eulerova metoda?

Myšlenka Eulerovy metody spočívá v nalezení numerického řešení diferenciální rovnice v intervalu mezi X ₀ a X _f.

Nejprve je interval diskretizován v n + 1 bodech:

x ₀, x ₁, x ₂, x ₃…, x _n

Které se získají takto:

x _i = x ₀ + ih

Kde h je šířka nebo krok podintervalů:

Při počátečním stavu je tedy možné derivát znát také na začátku:

y '(x _o) = f (x _o, y _o)

Tento derivát představuje sklon tečné čáry k křivce funkce y (x) přesně v bodě:

Ao = (x _o, y _o)

Poté se provede přibližná predikce hodnoty funkce y (x) v následujícím bodě:

y (x ₁) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Poté byl získán další přibližný bod řešení, který by odpovídal:

A ₁ = (x ₁, y ₁)

Postup se opakuje, aby se získaly následující body

A ₂, A ₃ …, x _n

Na obrázku znázorněném na začátku představuje modrá křivka přesné řešení diferenciální rovnice a červená představuje postupné přibližné body získané Eulerovou procedurou.

Řešená cvičení

Cvičení 1

I) Nechť diferenciální rovnice je:

S počáteční podmínkou x = a = 0; a _a = 1

Pomocí Eulerovy metody získejte přibližné řešení y na souřadnici X = b = 0,5, rozdělte interval na n = 5 dílů.

Řešení

Numerické výsledky jsou shrnuty takto:

Z toho se vyvozuje, že řešení Y pro hodnotu 0,5 je 1,4851.

Poznámka: Pro provádění výpočtů byl použit program Smath Studio, bezplatný program pro bezplatné použití.

Cvičení 2

II) Pokračování diferenciální rovnice z cvičení I), najít přesné řešení a porovnat jej s výsledkem získaným Eulerovou metodou. Najděte chybu nebo rozdíl mezi přesným a přibližným výsledkem.

Řešení

Přesné řešení není těžké najít. Derivát funkce sin (x) je znám jako funkce cos (x). Proto řešení y (x) bude:

y (x) = sin x + C

Aby byla splněna počáteční podmínka a (0) = 1, musí být konstanta C rovna 1. Přesný výsledek se porovná s přibližným:

Dospělo se k závěru, že ve vypočítaném intervalu má aproximace tři významné hodnoty přesnosti.

Cvičení 3

III) Zvažte diferenciální rovnici a její počáteční podmínky uvedené níže:

y '(x) = - y ²

S počáteční podmínkou x ₀ = 0; a ₀ = 1

Pomocí Eulerovy metody najděte přibližné hodnoty řešení y (x) v intervalu x =. Použijte krok h = 0,1.

Řešení

Eulerova metoda je velmi vhodná pro použití s ​​tabulkou. V tomto případě použijeme tabulku geogebra, bezplatný a open-source program.

Tabulka na obrázku ukazuje tři sloupce (A, B, C), první je proměnná x, druhý sloupec představuje proměnnou y a třetí sloupec je derivát y '.

Řádek 2 obsahuje počáteční hodnoty X, Y, Y '.

Krok hodnoty 0,1 byl umístěn do buňky absolutní pozice ($ D $ 4).

Počáteční hodnota y0 je v buňce B2 a y1 je v buňce B3. Pro výpočet y _{1 se} použije vzorec:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o, y _o) = y _{o +} hf (x _o, y _o)

Tento tabulkový vzorec by byl číslo B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Podobně by y2 byl v buňce B4 a jeho vzorec je uveden na následujícím obrázku:

Obrázek také ukazuje graf přesného řešení a body A, B,…, P přibližného řešení Eulerovou metodou.

Newtonovská dynamika a Eulerova metoda

Klasická dynamika byla vyvinuta Isaacem Newtonem (1643 - 1727). Původní motivací Leonarda Eulera (1707 - 1783) k rozvoji jeho metody bylo právě řešení rovnice Newtonova druhého zákona v různých fyzických situacích.

Newtonův druhý zákon se obvykle vyjadřuje jako diferenciální rovnice druhého stupně:

Kde x představuje polohu objektu v čase t. Uvedený objekt má hmotnost ma je vystaven působení síly F. Funkce f souvisí se silou a hmotností takto:

Pro použití Eulerovy metody jsou vyžadovány počáteční hodnoty času t, rychlosti v a pozice x.

Následující tabulka vysvětluje, jak lze z počáteční hodnoty t1, v1, x1 získat aproximaci rychlosti v2 a polohy x2 v okamžiku t2 = t1 + Δt, kde Δt představuje malé zvýšení a odpovídá kroku ve způsobu Euler.

Cvičení 4

IV) Jedním ze základních problémů v mechanice je blok hmoty M vázaný na pružinu (nebo pružinu) elastické konstanty K.

Newtonův druhý zákon pro tento problém by vypadal takto:

V tomto příkladu vezmeme pro jednoduchost M = 1 a K = 1. Najděte přibližná řešení pozice x a rychlosti v Eulerovou metodou v časovém intervalu rozdělením intervalu na 12 částí.

Vezměte 0 jako počáteční okamžik, počáteční rychlost 0 a počáteční polohu 1.

Řešení

Numerické výsledky jsou uvedeny v následující tabulce:

Jsou také zobrazeny grafy polohy a rychlosti mezi časy 0 a 1,44.

Navrhovaná cvičení pro domov

Cvičení 1

Pomocí tabulky určete přibližné řešení pomocí Eulerovy metody pro diferenciální rovnici:

y '= - Exp (-y) s počátečními podmínkami x = 0, y = -1 v intervalu x =

Začněte krokem 0,1. Vykreslete výsledek.

Cvičení 2

Pomocí tabulky vyhledejte numerická řešení následující kvadratické rovnice, kde y je funkcí nezávislé proměnné t.

y '' = - 1 / y² s počáteční podmínkou t = 0; a (0) = 0,5; y '(0) = 0

Najděte řešení v intervalu pomocí kroku 0,05.

Vyjádřete výsledek: y vs t; y 'vs t

Reference

1. Metoda Eurler Převzato z wikipedia.org
2. Eulerův řešitel. Převzato z en.smath.com