INVERZNÍ MATICE: VÝPOČET A ŘEŠENÉ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Inverzní matice dané matice je matice, která násobí původní dává matice identity. Inverzní matice je užitečná pro řešení systémů lineárních rovnic, proto je důležité vědět, jak ji vypočítat.

Matice jsou velmi užitečné ve fyzice, strojírenství a matematice, protože jsou kompaktním nástrojem pro řešení složitých problémů. Užitečnost matic je vylepšena, pokud jsou nevratné a je známa i jejich inverze.

Obrázek 1. Je znázorněna obecná matice 2 × 2 a její inverzní matice. (Připravil Ricardo Pérez)

V oblasti grafického zpracování, velkých dat, těžby dat, strojového učení a dalších, se používají efektivní a rychlé algoritmy k vyhodnocení inverzní matice nxn matic s velmi velkými n, řádově tisíců nebo milionů.

Pro ilustraci použití inverzní matice při manipulaci se systémem lineárních rovnic začneme nejjednodušším případem ze všech: 1 × 1 matic.

Nejjednodušší případ: uvažuje se lineární rovnice jedné proměnné: 2 x = 10.

Cílem je najít hodnotu x, ale bude to provedeno „maticí“.

Matice M = (2), která násobí vektor (x), je matice 1 × 1, jejímž výsledkem je vektor (10):

M (x) = (10)

Inverzní matice M je označena M ^-1.

Obecný způsob, jak napsat tento „lineární systém“, je:

MX = B, kde X je vektor (x) a B je vektor (10).

Podle definice je inverzní matice ta, která vynásobená původní maticí vede k matici identity I:

M ^-1 M = I

V uvažovaném případě je maticí M ^-1 matice (½), tj. M ^-1 = (½), protože M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Pro nalezení neznámého vektoru X = (x) jsou v navrhované rovnici oba členy násobeny inverzní maticí:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(1) (2) (x) = (1) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Bylo dosaženo rovnosti dvou vektorů, které jsou stejné pouze tehdy, když jsou jejich odpovídající prvky stejné, tj. X = 5.

Výpočet inverze matice

Motivací pro výpočet inverzní matice je nalezení univerzální metody řešení lineárních systémů, jako je následující systém 2 × 2:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

V souladu s kroky případu 1 × 1, studovanými v předchozí části, píšeme soustavu rovnic v maticové formě:

Obrázek 2. Lineární systém v maticové formě.

Tento systém je psán v kompaktním vektorovém zápisu následovně:

MX = B

kde

Dalším krokem je nalezení inverze M.

Metoda 1: Použití Gaussovy eliminace

Bude použita Gaussova eliminační metoda. Tato operace spočívá v provádění elementárních operací na řádcích matice:

- Vynásobte řádek nenulovým číslem.

- Přidat nebo odečíst další řádek z řádku nebo násobek jiného řádku.

- Zaměňte řádky.

Cílem je prostřednictvím těchto operací převést původní matici na matici identity.

Když se tak stane, v matici M se na matici identity použijí přesně stejné operace. Když se po několika operacích v řádcích transformuje M na jednotkovou matici, pak se ta, která byla původně jednotkou, stane inverzní maticí M, tj. M ^-1.

1 - Začneme proces zápisem matice M a vedle ní matice jednotek:

2 - Přidáme dva řádky a výsledek umístíme do druhého řádku, čímž získáme nulu v prvním prvku druhého řádku:

3 - Vynásobíme druhý řádek -1 a získáme 0 a 1 ve druhém řádku:

4- První řádek se vynásobí ½:

5- Přidá se druhý a první a výsledek se umístí do prvního řádku:

6 - Pro dokončení procesu se první řádek vynásobí 2 a získá se matice identity v první a inverzní matice původní matice M ve druhé:

To znamená:

Systémové řešení

Jakmile je získána inverzní matice, systém rovnic je vyřešen aplikací inverzní matice na oba členy kompaktní vektorové rovnice:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Což výslovně vypadá takto:

Poté se provede násobení matic za získání vektoru X:

Metoda 2: pomocí připojené matice

Při tomto druhém způsobu je inverzní matice vypočítat z adjoint matrice původní matice A.

Předpokládejme matici A danou:

kde _{i, j} je prvek v řadě i a sloupci j matice A.

Přilehlé matice A se bude jmenovat Adj (A) a její prvky jsou:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

kde Ai, j je komplementární spodní matrice získaná odstraněním řádek i sloupec a j původní matice A. Sloupce ¦ ¦ označují, že se určuje determinant, tj . „Ai, j¦ je determinant vedlejší komplementární matice.

Inverzní maticový vzorec

Vzorec pro nalezení inverzní matice začínající od sousední matice původní matice je následující:

Je inverzní matice A, A ^-1, je transpozice adjoint z A děleno determinant A.

Transpozice A ^T matice A je získána výměnou řádků za sloupce, to znamená, že první řádek se stává prvním sloupcem a druhý řádek se stává druhým sloupcem atd., Dokud není dokončeno n řádků původní matice.

Cvičení vyřešeno

Nechť je matice A následující:

Vypočítá se každý prvek sousední matice A: Adj (A)

Výsledkem je, že sousedící matice A, Adj (A) je následující:

Poté se vypočte determinant matice A, det (A):

Nakonec se získá inverzní matice A:

Reference

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Pass publikace.
2. Awol Assen (2013) Studie o výpočtu determinantů 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Úvod do lineární algebry. ESIC Editorial.
4. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30sekundové matematiky: 50 nejrozšířenějších teorií rozšiřujících mysl v matematice. Ivy Press Limited.
7. Matice. Lap Lambert Academic Publishing.