ATOMOVÝ MODEL DIRAC JORDAN: CHARAKTERISTIKY A POSTULÁTY - FYZICKÝ - 2025

Dirac-Jordán modelu atomu je relativistická zobecnění Hamiltonova operátora v rovnici, která popisuje funkci kvantové vlny elektronu. Na rozdíl od předchozího modelu Schrodingera není nutné zavádět rotaci pomocí Pauliho vylučovacího principu, protože to vypadá přirozeně.

Kromě toho model Dirac-Jordan zahrnuje relativistické korekce, interakci spin-orbita a Darwinův termín, což odpovídá jemné struktuře elektronických hladin atomu.

Obrázek 1. Elektronické orbitaly v atomu vodíku pro první tři energetické úrovně. Zdroj: Wikimedia Commons.

Od roku 1928 se vědci Paul AM Dirac (1902-1984) a Pascual Jordan (1902-1980) rozhodli zobecnit kvantovou mechaniku vyvinutou Schrodingerem tak, aby zahrnovala Einsteinovy ​​speciální opravy relativity.

Dirac začíná od Schrodingerovy rovnice, která se skládá z diferenciálního operátora, zvaného Hamiltonián, který pracuje na funkci známé jako funkce elektronové vlny. Schrodinger však nezohlednil relativistické účinky.

Řešení vlnové funkce nám umožňují vypočítat oblasti, kde se s určitým stupněm pravděpodobnosti najde elektron kolem jádra. Tyto regiony nebo zóny se nazývají orbitaly a závisí na určitých diskrétních kvantových číslech, které definují energii a hybnou hybnost elektronu.

Předpokládá se

V kvantových mechanických teoriích, ať už relativistických, nebo ne, neexistuje pojem oběžné dráhy, protože ani polohu, ani rychlost elektronu nelze určit současně. Dále, zadání jedné z proměnných vede k naprosté nepřesnosti v druhé.

Hamiltonián je matematický operátor, který působí na funkci kvantové vlny a je postaven z energie elektronu. Například volný elektron má celkovou energii E, která závisí na jeho lineární hybnosti p, jako je tato:

E = (p ²) / 2m

Abychom vytvořili Hamiltonián, začneme tímto výrazem a nahrazujeme p kvantovým operátorem hybností:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Je důležité si uvědomit, že termíny p a p jsou odlišné, protože první je hybnost a druhý je diferenciální operátor spojený s hybností.

Navíc je i imaginární jednotka a ħ Planckova konstanta dělená 2π, tímto způsobem je získán Hamiltonovský operátor H volného elektronu:

H = (H ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

Chcete-li najít hamiltonián elektronu v atomu, přidejte interakci elektronu s jádrem:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

V předchozím výrazu -e je elektrický náboj elektronu a Φ (r) elektrostatický potenciál produkovaný centrálním jádrem.

Nyní operátor H působí na vlnovou funkci ψ podle Schrodingerovy rovnice, která je psána takto:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Diracovy čtyři postuláty

První postulát: relativistická vlnová rovnice má stejnou strukturu jako Schrodingerova vlnová rovnice, což se mění H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Druhý postulát: Hamiltonovský operátor je konstruován počínaje Einsteinovým vztahem energie a hybnosti, který je psán takto:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ²) ^1/2

V předchozím vztahu, pokud má částice hybnost p = 0, pak máme slavnou rovnici E = mc ^2, která spojuje energii ve zbytku jakékoli částice o hmotnosti m s rychlostí světla c.

Třetí postulát: k získání hamiltonovského operátora se používá stejné kvantizační pravidlo, jaké se používá v Schrodingerově rovnici:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

Na začátku nebylo jasné, jak zacházet s tímto diferenciálním operátorem působícím na druhou odmocninu, a tak se Dirac rozhodl získat lineárního Hamiltonovského operátora na hybném operátoru a odtud vznikl jeho čtvrtý postulát.

Čtvrtý postulát: Aby se zbavil druhé odmocniny ve vzorci relativistické energie, navrhl Dirac následující strukturu pro E ²:

Aby to byla pravda, je samozřejmě nutné stanovit koeficienty alfa (α0, al, α2, α3).

Diracova rovnice

Ve své kompaktní podobě je Diracova rovnice považována za jednu z nejkrásnějších matematických rovnic na světě:

Obrázek 2. Diracova rovnice v kompaktní formě. Zdroj: F. Zapata.

A to je, když je jasné, že konstantní alfy nemohou být skalární veličiny. Jediným způsobem, jak je splněna rovnost čtvrtého postulátu, je to, že se jedná o konstantní 4 × 4 matice, které jsou známé jako Diracova matice:

Okamžitě pozorujeme, že vlnová funkce přestává být skalární funkcí a stává se vektorem se čtyřmi složkami nazývanými spinor:

Atom Dirac-Jordán

K získání atomového modelu je nutné přejít od rovnice volného elektronu k rovnici elektronu v elektromagnetickém poli vytvářeném atomovým jádrem. Tato interakce se bere v úvahu začleněním skalárního potenciálu Φ a vektorového potenciálu A do hamiltonovského jazyka:

Vlnová funkce (spinor), která je výsledkem začlenění tohoto Hamiltoniana, má následující charakteristiky:

- Splňuje speciální relativitu, protože bere v úvahu vnitřní energii elektronu (první funkční období relativistického Hamiltoniana)

- Má čtyři řešení odpovídající čtyřem komponentám rotoru

- První dva roztoky odpovídají jednomu odstřeďování + ½ a druhému odstřeďování - ½

- A konečně, další dvě řešení předpovídají existenci antihmoty, protože odpovídají tomu s pozitrony s protějšími točeními.

Velkou výhodou Diracova rovnice je, že korekce na základní Schrodinger Hamiltonian H (o) lze rozdělit na několik termínů, které ukážeme níže:

V předchozí expresi V je skalární potenciál, protože vektorový potenciál A je nula, pokud se předpokládá, že centrální proton je stacionární, a proto se neobjevuje.

Důvod, že Diracova korekce na řešení Schrodinger ve vlnové funkci, je nepatrný. Vyplývají ze skutečnosti, že poslední tři termíny korigovaného Hamiltoniana jsou všechny děleny rychlostí c světla na druhou, což je obrovské číslo, díky čemuž jsou tyto pojmy numericky malé.

Relativistické korekce energetického spektra

Pomocí Dirac-Jordanovy rovnice najdeme korekce energetického spektra elektronu v atomu vodíku. Korekce energie v atomech s více než jedním elektronem v přibližné formě se také nacházejí pomocí metodologie známé jako teorie poruch.

Podobně nám model Dirac umožňuje najít jemnou strukturu korekce v hladinách vodíkové energie.

Ještě jemnější korekce, jako je hyperjemná struktura a Lambův posun, se však získávají z pokročilejších modelů, jako je teorie kvantového pole, která se zrodila přesně z příspěvků Diracova modelu.

Následující obrázek ukazuje, jak Diracova relativistická korekce na energetické hladiny vypadá:

Obrázek 3. Korekce Diracova modelu na hladiny atomu vodíku. Zdroj: Wikimedia Commons.

Například řešení Diracova rovnice správně předpovídají pozorovaný posun na úrovni 2s. Je to dobře známá korekce jemné struktury v Lymanově alfa linii vodíkového spektra (viz obrázek 3).

Mimochodem, jemná struktura je jméno dané v atomové fyzice zdvojnásobení linií emisního spektra atomů, což je přímý důsledek elektronického spinu.

Obrázek 4. Rozdělení jemných struktur pro základní stav n = 1 a první excitovaný stav n = 2 v atomu vodíku. Zdroj: R Wirnata. Relativistické korekce atomů vodíku. Researchgate.net

Články zájmu

Atomový model De Broglie.

Chadwickův atomový model.

Heisenbergův atomový model.

Perrinův atomový model.

Thomsonův atomový model.

Daltonův atomový model.

Schrödingerův atomový model.

Atomový model Demokrita.

Bohrův atomový model.

Reference

1. Atomová teorie. Obnoveno z wikipedia.org.
2. Elektronový magnetický moment. Obnoveno z wikipedia.org.
3. Quanta: Příručka pojmů. (1974). Oxford University Press. Obnoveno z Wikipedia.org.
4. Atomový model Dirac Jordan. Obnoveno z prezi.com.
5. Nový kvantový vesmír. Cambridge University Press. Obnoveno z Wikipedia.org.