EULEROVO ČÍSLO NEBO E-ČÍSLO: KOLIK STOJÍ, VLASTNOSTI, APLIKACE - MATEMATIKA - 2025

Euler číslo nebo číslo e je dobře známo, matematická konstanta, která se často objevuje v mnoha vědeckých a ekonomických aplikací, společně s číslem n a dalších důležitých čísel v matematice.

Vědecká kalkulačka vrátí následující hodnotu pro číslo e:

Obrázek 1. Eulerovo číslo se ve vědě objevuje často. Zdroj: F. Zapata.

e = 2,718281828…

Je však známo mnohem více desetinných míst, například:

e = 2.71828182845904523536…

A moderní počítače našli biliony desetinných míst pro číslo e.

Je to iracionální číslo, což znamená, že má nekonečný počet desetinných míst bez opakujícího se vzorce (sekvence 1828 se objeví dvakrát na začátku a již se neopakuje).

A také to znamená, že číslo e nelze získat jako podíl dvou celých čísel.

Dějiny

Číslo e bylo identifikováno vědcem Jacquesem Bernoulli v roce 1683, když studoval problém složeného zájmu, ale dříve se objevil nepřímo v pracích skotského matematika Johna Napiera, který vynalezl logaritmy kolem roku 1618.

Nicméně, to bylo Leonhard Euler v 1727 kdo dal tomu jméno číslo e a intenzivně studoval jeho vlastnosti. Z tohoto důvodu je také známo jako Eulerovo číslo a také jako přirozená základna pro přirozené logaritmy (exponent), které se v současnosti používají.

Kolik stojí číslo e?

Číslo e má hodnotu:

e = 2.71828182845904523536…

Elipsa znamená, že existuje nekonečný počet desetinných míst, a ve skutečnosti jsou u dnešních počítačů známy miliony.

Zastoupení čísla e

Níže uvádíme několik způsobů, jak definovat e:

Číslo e jako limit

Jedním z různých způsobů, jak se vyjadřuje číslo e, je ten, který vědec Bernoulli ve svých pracích našel na složeném úroku:

Ve kterém musíte udělat z n velmi velké číslo.

Je snadné zkontrolovat pomocí kalkulačky, že když je n velmi velké, má předchozí výraz tendenci k hodnotě e uvedené výše.

Samozřejmě si můžeme položit otázku, jak velké n může být vyrobeno, takže zkuste zaokrouhlit čísla, jako jsou například tato:

n = 1 000; 10 000 nebo 100 000

V prvním případě dostaneme e = 2.7169239…. Ve druhém e = 2.7181459… a ve třetím je mnohem blíže hodnotě e: 2.7182682. Už si můžeme představit, že s n = 1 000 000 nebo větším bude aproximace ještě lepší.

V matematickém jazyce se postup přiblížení n blíže a blíže k velmi velké hodnotě nazývá limitem nekonečna a označuje se takto:

Pro označení nekonečna se používá symbol „∞“.

Číslo e jako součet

Je také možné definovat číslo e pomocí této operace:

Čísla, která se objevují ve jmenovateli: 1, 2, 6, 24, 120… odpovídají operaci n!, Kde:

A podle definice 0! = 1.

Je snadné zkontrolovat, že čím více přidaných přísad, tím přesnější je číslo e.

Udělejme několik testů s kalkulačkou a přidáme další a další doplňky:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Čím více výrazů se přidá k součtu, tím více se výsledek podobá e.

Matematici vymysleli kompaktní zápis pro tyto součty zahrnující mnoho termínů pomocí symbolu sumace Σ:

Tento výraz se čte jako tento "součet od n = 0 do nekonečna 1 mezi n faktoriálním".

Číslo e z geometrického hlediska

Číslo e má grafické znázornění vztahující se k oblasti pod grafem křivky:

y = 1 / x

Pokud jsou hodnoty x mezi 1 a e, rovná se tato plocha 1, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Obrázek 2. Grafické znázornění čísla e: plocha pod křivkou 1 / x, mezi x = 1 a x = e, má hodnotu 1. Zdroj: F. Zapata.

Vlastnosti čísla e

Některé z vlastností čísla e jsou:

-Je to iracionální, jinými slovy, nelze jej získat jednoduše dělením dvou celých čísel.

-Číslo e je také transcendentní číslo, což znamená, že e není řešením žádné polynomiální rovnice.

-Je to příbuzný čtyřem dalším slavným číslům v oblasti matematiky, jmenovitě: π, i, 1 a 0, prostřednictvím Eulerovy identity:

- Takzvaná komplexní čísla mohou být vyjádřena prostřednictvím e.

-Tvoří základ přirozených nebo přírodních logaritmů současnosti (původní definice Johna Napiera se trochu liší).

-Je to jediné číslo takové, že jeho přirozený logaritmus je roven 1, to je:

Aplikace

Statistika

Číslo e se objevuje velmi často v oblasti pravděpodobnosti a statistiky a objevuje se v různých distribucích, jako je normální nebo Gaussovo, Poissonovo a další.

Inženýrství

Ve strojírenství je to časté, protože exponenciální funkce y = e ^x je přítomna například v mechanice a elektromagnetismu. Z mnoha aplikací můžeme zmínit:

- Kabel nebo řetěz, který visí na koncích, přijímá tvar křivky dané:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

- Na počátku vybitý kondenzátor C, který je sériově připojen k rezistoru R a ke zdroji napětí V pro nabití, získává určitý náboj Q jako funkci času t danou:

Q (t) = CV (1-e- ^{t / RC})

biologie

Exponenciální funkce y = Ae ^Bx, s A a B konstantou, se používá k modelování buněčného růstu a bakteriálního růstu.

Fyzický

V jaderné fyzice jsou radioaktivní rozpady a stanovení věku modelovány radiokarbonovým datováním.

Hospodářství

Při výpočtu složeného úroku číslo e vzniká přirozeně.

Předpokládejme, že máte určitou částku P _o investovat s úrokovou sazbou i% ročně.

Pokud peníze necháte 1 rok, budete mít:

Po dalším roce, aniž byste se ho dotkli, budete mít:

A pokračování tímto způsobem po dobu n let:

Nyní si zapamatujme jednu z definic e:

Vypadá to trochu jako výraz pro P, takže musí existovat vztah.

Budeme distribuovat nominální úrokovou sazbu i v n časových obdobích, tímto způsobem bude složená úroková sazba i / n:

Tento výraz vypadá trochu více jako náš limit, ale stále to není úplně stejné.

Po některých algebraických manipulacích však můžeme ukázat, že provedením této změny proměnné:

Naše peníze P se stávají:

A to, co je mezi složenými závorkami, i když je psáno písmenem h, se rovná argumentu limitu, který definuje číslo e, chybí pouze limit.

Udělejme h → ∞ a to, co je mezi složenými závorkami, se stane číslem e. To neznamená, že musíme vybírat peníze nekonečně dlouho.

Když se podíváme pozorně, vytvořením h = n / i a tendencí k ∞, to, co jsme skutečně udělali, je rozložení úrokové sazby na velmi, velmi malá časová období:

i = n / h

Tomu se říká nepřetržité kombinování. V takovém případě lze snadno vypočítat množství peněz takto:

Kde i je roční úroková sazba. Například při vkladu 12 EUR na 9% ročně, prostřednictvím nepřetržité kapitalizace, máte po jednom roce:

Se ziskem 1,13 €.

Reference

1. Užijte si matematiku. Složené úroky: Periodické složení. Obnoveno z: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikován. Vydání CO-BO.
3. García, M. Číslo e v elementárním počtu. Obnoveno z: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Výpočet proměnné. 9. Edice. McGraw Hill.