SLOŽENÁ ČÍSLA: CHARAKTERISTIKA, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Čísla sloučenin jsou ta celá čísla, která mají více než dvě děliče. Pokud se podíváme pozorně, všechna čísla jsou alespoň dělitelná přesně sama sebou a 1. Těm, kteří mají pouze tyto dva dělitele, se říká prvočísla, a ty, které mají více, jsou složené.

Pojďme se podívat na číslo 2, které lze rozdělit pouze na 1 a 2. Číslo 3 má také dva dělitele: 1 a 3. Proto jsou oba prvořadí. Nyní se podívejme na číslo 12, které můžeme přesně rozdělit na 2, 3, 4, 6 a 12. Tím, že máme 5 dělitelů, je 12 složené číslo.

Obrázek 1. Prvočísla v modré barvě mohou být reprezentována pouze jednou řadou teček, nikoli složenými čísly v červené barvě. Zdroj: Wikimedia Commons.

A co se stane s číslem 1, které dělí všechny ostatní? Není to prvotní, protože nemá dva dělitele a není složené, proto 1 nepatří do žádné z těchto dvou kategorií. Existuje však mnoho, mnoho dalších čísel.

Složená čísla mohou být vyjádřena jako součin prvočísel a tento produkt, s výjimkou pořadí faktorů, je pro každé číslo jedinečný. To je zajištěno základní teorémem aritmetiky prokázanou řeckým matematikem Euclidem (325–365 př.nl).

Vraťme se k číslu 12, které můžeme vyjádřit různými způsoby. Vyzkoušejte některé:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Tvary, které jsou zvýrazněny tučně, jsou produkty prvočísel a jediná věc, která se mění, je pořadí faktorů, o kterých víme, že to nezmění produkt. Ostatní formy, i když platné pro vyjádření 12, nespočívají pouze v prvočíslech.

Příklady složených čísel

Pokud chceme složené číslo rozložit na hlavní faktory, musíme je rozdělit mezi prvočísla tak, aby rozdělení bylo přesné, tj. Zbytek je 0.

Tento postup se nazývá prvotní faktorizace nebo kanonický rozklad. Prvotní faktory mohou být povýšeny na pozitivní exponenty.

Rozložíme číslo 570 s tím, že je sudé a tedy dělitelné 2, což je prvočíslo.

Použijeme lištu k oddělení čísla vlevo od oddělovačů vpravo. Příslušné kvocienty se umístí pod číslo, jak jsou získány. Rozklad je dokončen, když poslední číslo v levém sloupci je 1:

570 │2

285 │

Při dělení 2 je kvocient 285, což je dělitelné 5, další prvočíslo končící na 5.

570 │2

285 │5

57 │

57 je dělitelná 3, také prvočíslo, protože součet jeho číslic 5 + 7 = 12 je násobkem 3.

570 282

285 │5

57 │3

19 │

Nakonec dostaneme 19, což je prvočíslo, jehož dělitelem je 19 a 1:

570 282

285 │5

57 │3

19 │19

1 │

Získáním 1 můžeme vyjádřit 570 tímto způsobem:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

A vidíme, že ve skutečnosti jde o produkt čtyř prvočísel.

V tomto příkladu začneme dělit 2, ale stejné faktory (v jiném pořadí) by byly získány, pokud bychom například začali dělením 5.

Obrázek 2. Kompozitní číslo 42 lze také rozložit pomocí diagramu ve tvaru stromu. Zdroj: Wikimedia Commons.

Kritéria dělitelnosti

Abychom složené číslo rozložili na hlavní faktory, je nutné jej přesně rozdělit. Kritéria dělitelnosti mezi prvočísly jsou pravidla, která umožňují zjistit, kdy je číslo dělitelné jiným přesně, aniž by se to muselo pokusit nebo dokázat.

- dělitelnost 2

Všechna sudá čísla, čísla končící na 0 nebo sudá čísla, jsou dělitelná 2.

- dělitelnost 3

Je-li součet číslic čísla násobkem 3, je číslo také dělitelné 3.

- dělitelnost 5

Čísla končící na 0 nebo 5 jsou dělitelná 5.

-Divisibilita do 7

Číslo je dělitelné 7, pokud při oddělení poslední číslice, vynásobení 2 a odečtení zbývajícího čísla je výsledná hodnota násobkem 7.

Toto pravidlo se zdá trochu komplikovanější než předchozí, ale ve skutečnosti to není tak moc, pojďme se tedy podívat na příklad: bude 98 dělitelné 7?

Postupujme podle pokynů: oddělíme poslední číslo, které je 8, vynásobíme jej 2, což dává 16. Číslo, které zůstává při oddělení 8 je 9. Odečteme 16 - 9 = 7. A protože 7 je násobek sám, 98 je dělitelné mezi 7.

- Rozdělení do 11

Pokud se součet čísel v sudé poloze (2, 4, 6…) odečte od součtu čísel na liché pozici (1, 3, 5, 7…) a získá se 0 nebo násobek 11, číslo je děleno 11.

První násobky 11 jsou snadno identifikovatelné: jsou 11, 22, 33, 44… 99. Ale pozor, 111 není, místo 110 je.

Jako příklad se podívejme, jestli 143 je násobek 11.

Toto číslo má 3 číslice, jediná sudá číslice je 4 (druhá), dvě lichá číslice jsou 1 a 3 (první a třetí) a jejich součet je 4.

Obě součty se odečítají: 4 - 4 = 0 a protože se získá 0, ukáže se, že 143 je násobkem 11.

- Rozdělení do 13

Číslo bez číslice musí být odečteno od 9násobku číslice. Pokud počet vrátí 0 nebo násobek 13, číslo je násobkem 13.

Jako příklad si ověříme, že 156 je násobkem 13. Jediná číslice je 6 a číslo, které zůstane bez ní, je 15. Vynásobíme 6 x 9 = 54 a nyní odečteme 54 - 15 = 39.

Ale 39 je 3 x 13, takže 56 je násobek 13.

Připravte si navzájem čísla

Dvě nebo více prvočísel nebo složených čísel mohou být prvočísla nebo souběžná. To znamená, že jediný společný dělitel, který mají, je 1.

Pokud jde o coprimes, je třeba si pamatovat dvě důležité vlastnosti:

- Dvě a tři po sobě jdoucí čísla jsou vždy navzájem prvořadá.

- Totéž lze říci o dvou, třech nebo více po sobě následujících lichých číslech.

Například 15, 16 a 17 jsou prvočísla a 15, 17 a 19.

Jak zjistit, kolik dělitelů má složené číslo

Prvočíslo má dva dělitele, stejné číslo a 1. A kolik dělitelů má složené číslo? Mohou to být bratranci nebo sloučeniny.

Nechť N je složené číslo vyjádřené v kanonickém rozkladu takto:

N = a ⁿ. b ^m. c ^p … r ^k

Kde a, b, c… r jsou hlavní faktory a n, m, p… k příslušné exponenty. Počet dělitelů C, které N má, je dán:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

S C = hlavní dělitelé + složené dělitele + 1

Například 570, který je vyjádřen takto:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Všechny hlavní faktory jsou zvýšeny na 1, proto 570 má:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 dělitelů

Z těchto 10 dělitelů již víme: 1, 2, 3, 5, 19 a 570. Chybí 10 dalších dělitelů, což jsou složená čísla: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 a 285. Nacházejí se pozorováním rozkladu na hlavní faktory a také násobením kombinací těchto faktorů dohromady.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Rozložte následující čísla na hlavní faktory:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Řešení

98 │2

49 │7

7 │7

1 │

98 = 2 x 7 x 7

B. Řešení

143 │11

13 │13

1 │

143 = 11 x 13

Řešení c

540 │5

108 │2

54 │2

27 │3

9 │3

3 │3

1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Řešení d

3705 │5

741 │3

247 │13

19 │19

1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Cvičení 2

Zjistěte, zda jsou následující čísla navzájem prvořadá:

6, 14, 9

Řešení

- Děličky 6 jsou: 1, 2, 3, 6

-Jako 14, je dělitelné: 1, 2, 7, 14

- Konečně 9 má jako dělitele: 1, 3, 9

Jediný dělitel, který mají společné, je 1, proto jsou si navzájem prvořadí.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kodex vydání a distribuce.
2. Byju. Počáteční a složená čísla. Obnoveno z: byjus.com.
3. Počáteční a složená čísla. Obnoveno z: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Kritéria dělitelnosti. Obnoveno z: smartick.es.
5. Wikipedia. Složená čísla. Obnoveno z: en.wikipedia.org.