CELÁ ČÍSLA: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Celá čísla jsou množina užitečných čísel pro počítání objektů, které mají hotové a nemají. Počítat také ty, kteří jsou na jedné straně a na druhé straně určitého referenčního místa.

Také s celými čísly můžete provést odčítání nebo rozdíl mezi číslem a číslem větším, než je číslo, výsledek se vyrovná například jako dluh. Rozdíl mezi příjmy a dluhy se dělí pomocí znaménka + a -.

Obrázek 1. Číselný řádek pro celá čísla. Zdroj: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Sada celých čísel proto obsahuje následující:

- Pozitivní celá čísla, která jsou napsána před znaménkem + nebo jednoduše bez znaménka, protože se také rozumí, že jsou pozitivní. Například: +1, +2, + 3… atd.

- 0, ve kterém je označení irelevantní, protože nezáleží na jeho přidání k odečtení od určitého množství. Ale 0 je velmi důležité, protože se jedná o odkaz na celá čísla: na jedné straně jsou pozitiva a na druhé negativy, jak vidíme na obrázku 1.

-Negativní celá čísla, která musí být vždy napsána před znaménkem -, protože u nich se rozlišují částky jako dluhy a všechny částky, které jsou na druhé straně odkazu. Příklady záporných celých čísel jsou: -1, -2, -3… a poté.

Jak jsou zastoupena celá čísla?

Na začátku reprezentujeme celá čísla se stanoveným zápisem: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, tj. Seznamy a organizovaný. Ale velmi užitečnou reprezentací je ta, kterou používá číselný řádek. To vyžaduje nakreslení čáry, která je obecně vodorovná, na které je 0 označeno a rozděleno do stejných sekcí:

Obrázek 2. Reprezentace celých čísel na číselném řádku. Od 0 doprava jsou kladná celá čísla a od 0 zleva záporná čísla. Zdroj: F. Zapata.

Negativy jdou vlevo od 0 a klady jdou doprava. Šipky na číselné lince symbolizují, že čísla pokračují do nekonečna. Vzhledem k celému číslu je vždy možné najít ten, který je větší nebo jiný, který je menší.

Absolutní hodnota celého čísla

Absolutní hodnota celého čísla je vzdálenost mezi číslem a 0. A vzdálenosti jsou vždy kladné. Proto absolutní hodnota záporného celého čísla je číslo bez znaménka mínus.

Například absolutní hodnota -5 je 5. Absolutní hodnota je označena pruhy následovně:

- 5 - = 5

Pro vizualizaci stačí spočítat mezery na číselné linii od -5 do 0. Zatímco absolutní hodnota kladného celého čísla je stejné číslo, například - + 3- = 3, protože jeho vzdálenost od 0 je se 3 mezerami:

Obrázek 3. Absolutní hodnota celého čísla je vždy kladné množství. Zdroj: F. Zapata.

Vlastnosti

-Sada celých čísel je označena jako Z a zahrnuje množinu přirozených čísel N, jejich prvky jsou nekonečné.

- Celé číslo a číslo, které následuje (nebo číslo, které mu předchází) jsou vždy rozlišeny v jednotě. Například po 5 přichází 6, přičemž 1 je rozdíl mezi nimi.

-Každé celé číslo má předchůdce a nástupce.

-Každé kladné celé číslo je větší než 0.

- Záporné celé číslo je vždy menší než 0 a jakékoli kladné číslo. Vezměme například číslo -100, to je méně než 2, než 10 a 50. Ale je to také méně než -10, -20 a -99 a je vyšší než -200.

-The 0 nemá znaménko, protože není ani negativní, ani pozitivní.

- S celými čísly můžete provádět stejné operace jako s přirozenými čísly, konkrétně: sčítání, odčítání, násobení, zplnomocnění a další.

- Celé číslo naproti určitému celému x, je –x a součet celého čísla s jeho opakem je 0:

x + (-x) = 0.

Operace s celými čísly

- Součet

- Pokud mají čísla, která mají být přidána, stejné znaménko, přidají se jejich absolutní hodnoty a výsledek se umístí se znaménkem, které mají přidané hodnoty. Zde jsou nějaké příklady:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

- Jsou-li čísla různého znaménka, absolutní hodnoty se odečtou (nejvyšší od nejnižší) a výsledek se umístí se znaménkem čísla s nejvyšší absolutní hodnotou následovně:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Vlastnosti součtu celých čísel

- Součet je komutativní, proto pořadí doplňků nemění součet. Nechť a a b jsou dvě celá čísla, je pravda, že a + b = b + a

- 0 je neutrální prvek součtu celých čísel: a + 0 = a

-Každé celé číslo přidané k jeho opaku je 0. Opak + a je –a, a naopak, opak –a je + a. Proto: (+ a) + (-a) = 0.

Obrázek 2. Pravidlo značek pro sčítání celých čísel. Zdroj: Wikimedia Commons.

- Odčítání

Chcete-li odečíst celá čísla, je třeba se řídit tímto pravidlem: odčítání je ekvivalentní přidání čísla jeho opakem. Nechť a a b jsou dvě čísla, pak:

a - b = a + (-b)

Předpokládejme například, že musíte provést následující operaci: (-3) - (+7), pak:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Násobení

Násobení celých čísel se řídí určitými pravidly pro značky:

- Produkt dvou čísel se stejným znaménkem je vždy pozitivní.

- Pokud se vynásobí dvě čísla s různými znaménky, výsledek je vždy záporný.

- Hodnota produktu se rovná vynásobení příslušných absolutních hodnot.

Okamžitě některé příklady, které objasňují výše uvedené:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Vlastnosti násobení celých čísel

-Vícenásobné použití je komutativní. Nechť a a b jsou dvě celá čísla, je pravda, že: ab = ba, které lze také vyjádřit jako:

- Neutrální prvek násobení je 1. Nechť a je celé číslo, proto a.1 = 1

-Každé celé číslo vynásobené 0 se rovná 0: a.0 = 0

Distribuční vlastnost

Násobení odpovídá distribuční vlastnosti s ohledem na přidání. Pokud a, b a c jsou celá čísla, pak:

a. (b + c) = ab + ac

Zde je příklad, jak tuto vlastnost použít:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Zplnomocnění

- Pokud je základna pozitivní, výsledek operace je vždy pozitivní.

- Pokud je báze záporná, pokud je exponent sudý, výsledek je pozitivní. a pokud je exponent lichý, výsledek je negativní.

- Divize

Stejná pravidla podepisování platí v dělení jako v násobení:

- Při rozdělení dvou celých čísel stejného znaménka je výsledek vždy pozitivní.

- Pokud jsou dvě celá čísla s různými znaménky rozdělena, kvocient je záporný.

Například:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Důležité: dělení není komutativní, jinými slovy a ÷ b ≠ b ÷ a a jako vždy není dělení 0 povoleno.

- Zmocnění

Nechť a je celé číslo a chceme ho zvýšit na exponent n, pak musíme násobit a n nkrát, jak je ukázáno níže:

a ⁿ = aaaa……a

Zvažte také následující, vezměte v úvahu, že n je přirozené číslo:

- Pokud je a záporné a n je sudé, výsledek je pozitivní.

-Když je a záporné a n je liché, výsledkem je záporné číslo.

- Pokud je a pozitivní a n je sudé nebo liché, vždy se získá kladné celé číslo.

- Každé celé číslo zvýšené na 0 se rovná 1: ⁰ = 1

- Každé číslo zvýšené na 1 se rovná číslu: a ¹ = a

Řekněme například, že chceme najít (–3) ⁴, abychom tak násobili (-3) čtyřikrát sami, takto: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Další příklad, také se záporným celkovým číslem, je:

(-2) ³ = (-2). (-2). (-2) = -8

Součin pravomocí stejné základny

Předpokládejme dvě síly stejné základny, pokud je vynásobíme, získáme další sílu se stejnou základnou, jejíž exponent je součet daných exponentů:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Podíl stejných základních sil

Při dělení sil stejného základu je výsledkem síla se stejným základem, jehož exponentem je odečtení daných exponentů:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Zde jsou dva příklady, které objasňují tyto body:

(-2) ^3, (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Příklady

Podívejme se na jednoduché příklady použití těchto pravidel, pamatujeme na to, že v případě pozitivních celých čísel může být znak zrušen:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Mravenec se pohybuje podél číselné čáry na obrázku 1. Počínaje bodem x = +3 provádí následující pohyby:

-Meses 7 jednotek napravo

- Nyní vrátíte 5 jednotek doleva

-Chodte 3 další jednotky vlevo.

-Vrátí se a posune 4 jednotky doprava.

V jakém okamžiku je mravenec na konci turné?

Řešení

Říkejme posunutí D. Když jsou napravo, je jim dáno kladné znamení a když jsou nalevo záporné. Tímto způsobem a od x = +3 máme:

-První D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Second D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Třída D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Když mravenec dokončí svoji procházku, je v poloze x = +6. To znamená, že je to 6 jednotek napravo od 0 na číselné řadě.

- Cvičení 2

Vyřešte následující operace:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Řešení

Tato operace obsahuje seskupovací značky, kterými jsou závorky, hranaté závorky a závorky. Při řešení musíte nejprve pečovat o závorky, pak závorky a nakonec závorky. Jinými slovy, musíte pracovat zevnitř ven.

V tomto cvičení bod představuje násobení, ale pokud mezi číslem a závorkou nebo jiným symbolem není žádný bod, rozumí se to také produktem.

Pod rozlišením krok za krokem slouží barvy jako vodítko pro sledování výsledku zmenšení závorek, které jsou nejvnitřnějšími symboly seskupení:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} = =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Cvičení 3

Vyřešte rovnici prvního stupně:

12 + x = 30 + 3x

Řešení

Termíny jsou seskupeny s neznámým nalevo od rovnosti a numerickými pojmy vpravo:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Reference

1. Carena, M. 2019. Předuniverzitní matematická příručka. Národní univerzita v Litoralu.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 7. stupně. Vydání CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Výběr témat matematiky. Monfort Publications.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Celá čísla. Obnoveno z: Cimanet.uoc.edu.