IMAGINÁRNÍ ČÍSLA: VLASTNOSTI, APLIKACE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Tyto imaginární čísla jsou ty, které řeší rovnice, v níž neznámé, zvýší na náměstí se rovná záporné reálné číslo. Imaginární jednotka je i = √ (-1).

V rovnici: z ² = - a, z je imaginární číslo, které je vyjádřeno takto:

z = √ (-a) = i√ (a)

Být pozitivní skutečné číslo. Pokud a = 1, pak z = i, kde i je imaginární jednotka.

Obrázek 1. Složitá rovina ukazující některá reálná čísla, některá imaginární čísla a některá komplexní čísla. Zdroj: F. Zapata.

Obecně je čistě imaginární číslo z vždy vyjádřeno ve formě:

z = y⋅i

Kde y je reálné číslo a i je imaginární jednotka.

Stejně jako jsou reálná čísla reprezentována na řádku, nazývaném skutečná linka, podobným způsobem jsou na imaginárním řádku reprezentovány imaginární čísla.

Imaginární čára je vždy pravoúhlá (90 ° tvar) k reálné linii a tyto dvě čáry definují kartézskou rovinu nazývanou komplexní rovina.

Na obrázku 1 je znázorněna složitá rovina a na ní jsou znázorněna některá reálná čísla, některá imaginární čísla a také některá komplexní čísla:

X ₁, X ₂, X ₃ jsou reálná čísla

Y ₁, Y ₂, Y ₃ jsou imaginární čísla

Z ₂ a Z ₃ jsou komplexní čísla

Číslo O je skutečná nula a je to také imaginární nula, takže počátek O je komplexní nula vyjádřená:

0 + 0i

Vlastnosti

Soubor imaginárních čísel je označen:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

A můžete definovat některé operace v této numerické sadě. Imaginární číslo není vždy získáno z těchto operací, tak se na ně podívejme podrobněji:

Přidat a odečíst imaginární

Imaginární čísla lze od sebe sčítat a odečítat, což má za následek nové imaginární číslo. Například:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Produkt imaginární

Když se vytvoří součin jednoho imaginárního čísla s jiným, výsledkem je skutečné číslo. Provedeme to pomocí následující operace:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

A jak vidíme, -6 je skutečné číslo, i když bylo získáno vynásobením dvou čistých imaginárních čísel.

Produkt skutečného čísla jiným imaginárním

Pokud je skutečné číslo vynásobeno i, výsledkem bude imaginární číslo, které odpovídá otáčení o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček.

A je to tak, že i ² odpovídá dvěma po sobě jdoucím otáčkám o 90 stupňů, což je ekvivalentní násobení -1, tj. I ² = -1. Je vidět na následujícím diagramu:

Obrázek 2. Násobení imaginární jednotkou i odpovídá 90 ° otáčení proti směru hodinových ručiček. Zdroj: wikimedia commons.

Například:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Zmocnění imaginárního

Můžete definovat potenciaci imaginárního čísla na exponenta celého čísla:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Obecně platí, že i ⁿ = i ^ (n mod 4), kde mod je zbytek dělení mezi n a 4.

Negativní celé číslo může být také provedeno:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Obecně je imaginární číslo b⋅i zvýšené na sílu n:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Příklady jsou následující:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Součet reálného čísla a imaginárního čísla

Když přidáte skutečné číslo s imaginárním číslem, výsledek není ani skutečný, ani imaginární, jedná se o nový typ čísla nazývaného komplexní číslo.

Například pokud X = 3,5 a Y = 3,75i, výsledkem je komplexní číslo:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Všimněte si, že skutečné a imaginární části nelze v součtu seskupit, takže komplexní číslo bude mít vždy skutečnou část a imaginární část.

Tato operace rozšiřuje množinu reálných čísel na nejširší složitá čísla.

Aplikace

Název imaginárních čísel navrhl francouzský matematik René Descartes (1596-1650) jako výsměch nebo nesouhlas s návrhem téhož učiněného italským matematikem století Raffaelle Bombelli.

Ostatní velcí matematici, jako Euler a Leibniz, podporovali Descartese v tomto nesouhlasu a nazvali imaginární čísla obojživelnými čísly, která byla roztrhána mezi bytím a ničím.

Název imaginárních čísel zůstává dodnes, ale jejich existence a význam jsou velmi reálné a hmatatelné, protože se přirozeně objevují v mnoha oblastech fyziky, jako jsou:

- Teorie relativity.

-V elektromagnetismu.

-Kvantová mechanika.

Cvičení s imaginárními čísly

- Cvičení 1

Najděte řešení následující rovnice:

z ² + 16 = 0

Řešení

z ² = -16

Vezmeme-li v obou členech druhou odmocninu, máme:

√ (z ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Jinými slovy, řešení původní rovnice jsou:

z = + 4i oz = -4i.

- Cvičení 2

Najděte výsledek zvýšení imaginární jednotky na výkon 5 minus odečtení imaginární jednotky zvýšené na výkon -5.

Řešení

i ⁵ - i - ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- Cvičení 3

Najděte výsledek následující operace:

(3i) ³ + 9i

Řešení

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Cvičení 4

Najděte řešení následující kvadratické rovnice:

(-2x) ² + 2 = 0

Řešení

Rovnice je uspořádána takto:

(-2x) ² = -2

Pak se vezme druhá odmocnina obou členů

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Pak vyřešíme x, abychom konečně získali:

x = ± 2/2 2 i

To znamená, že existují dvě možná řešení:

x = (-2/2) i

Nebo toto jiné:

x = - (-2/2) i

- Cvičení 5

Najděte hodnotu Z definovanou:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Řešení

Víme, že druhá odmocnina záporného reálného čísla je imaginární číslo, například √ (-9) se rovná √ (9) x √ (-1) = 3i.

Na druhé straně, √ (-4) se rovná √ (4) x √ (-1) = 2i.

Původní rovnici lze tedy nahradit:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6-7 = -13

- Cvičení 6

Najděte hodnotu Z vyplývající z následujícího dělení dvou komplexních čísel:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

Řešení

Čitatel výrazu lze faktorovat pomocí následující vlastnosti:

Tak:

Z = / (3 + i)

Výsledný výraz je níže zjednodušen a ponechán

Z = (3 - i)

Reference

1. Earl, R. Složitá čísla. Obnoveno z: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikován. Vydání CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Výběr témat matematiky. Monfort Publications.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Imaginární číslo. Obnoveno z: en.wikipedia.org