IRACIONÁLNÍ ČÍSLA: HISTORIE, VLASTNOSTI, KLASIFIKACE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Tyto iracionální čísla jsou ty, jejichž exprese je nekonečné čísla desetinných bez opakujícího se vzoru, proto nemůže být získány z poměru mezi dvěma celými čísly.

Mezi nejznámější iracionální čísla patří:

Obrázek 1. Od shora dolů k následujícím iracionálním číslům: pi, Eulerovo číslo, zlatý poměr a dva kořeny čtverců. Zdroj: Pixabay.

Mezi nimi je bezpochyby nejznámější π (pi), ale existuje mnoho dalších. Všichni patří do množiny reálných čísel, což je číselná množina, která sdružuje racionální a iracionální čísla.

Elipsa na obrázku 1 ukazuje, že desetinná čísla pokračují donekonečna. Stává se, že prostor obyčejných kalkulaček umožňuje zobrazit jen několik.

Pokud se podíváme pozorně, kdykoli uděláme kvocient mezi dvěma celými čísly, dostaneme desetinné místo s omezenými čísly nebo pokud ne, s nekonečnými čísly, ve kterých se jedna nebo více opakuje. To se nestává s iracionálními čísly.

Historie iracionálních čísel

Velký starověký matematik Pythagoras, narozený v roce 582 př.nl v řeckém Samosu, založil pythagorovskou školu myšlenek a objevil slavnou větu, která nese jeho jméno. Máme to tady vlevo (Babyloňané to možná věděli už dávno).

Obrázek 2. Pythagorova věta aplikovaná na trojúhelník se stranami rovnými 1. Zdroj: Pixabay / Wikimedia Commons.

Když Pythagoras (nebo pravděpodobně jeho žák) použil teorém na pravoúhlý trojúhelník se stranami rovnými 1, našel iracionální číslo √2.

Udělal to takto:

c = -1 ² + 1 ² = -1 + 1 = -2

Okamžitě si uvědomil, že toto nové číslo nepochází z podílu mezi dvěma dalšími přirozenými čísly, která byla ta tehdy známá.

Proto to nazval iracionální a objev způsobil mezi Pythagorejci velkou úzkost a zmatek.

Vlastnosti iracionálních čísel

-The množina všech iracionálních čísel je označena písmenem I a někdy jako Q * nebo Q ^C. Spojení mezi iracionálními čísly I nebo Q * a racionálními čísly Q vede ke vzniku reálných čísel R.

- S iracionálními čísly lze provádět známé aritmetické operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení, zplnomocnění a další.

-Dělení 0 není definováno aniracionálními čísly.

- Součet a součin mezi iracionálními čísly nemusí být nutně dalším iracionálním číslem. Například:

√2 x √8 = √16 = 4

A 4 není iracionální číslo.

- Součet racionálního čísla plus iracionálního čísla však dává iracionální výsledek. Takto:

1 + √2 = 2,41421356237…

- Produkt racionálního čísla odlišného od 0 iracionálním číslem je iracionální. Podívejme se na tento příklad:

2 x =2 = 2,828427125…

- Inverze iracionálních výsledků v jiném iracionálním čísle. Vyzkoušejte některé:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Tato čísla jsou zajímavá, protože jsou také hodnotami některých trigonometrických poměrů známých úhlů. Většina trigonometrických poměrů jsou iracionální čísla, ale existují výjimky, jako je sin 30º = 0,5 = ½, což je racionální.

- V součtu jsou splněny komutativní a asociativní vlastnosti. Pokud a a b jsou dvě iracionální čísla, znamená to, že:

a + b = b + a.

A pokud c je jiné iracionální číslo, pak:

(a + b) + c = a + (b + c).

- Distribuční vlastnost násobení s ohledem na sčítání je další známá vlastnost, která platí i pro iracionální čísla. V tomto případě:

a. (b + c) = ab + ac

-Ar iracionální má svůj opak: -a. Když se sčítají, výsledkem je 0:

a + (- a) = 0

- Mezi dvěma různými racionály existuje alespoň jedno iracionální číslo.

Umístění iracionálního čísla na skutečné lince

Reálná čára je vodorovná čára, kde jsou umístěna reálná čísla, z nichž iracionální čísla jsou důležitou součástí.

K nalezení iracionálního čísla na reálné linii v geometrické podobě můžeme použít Pythagorovu větu, pravítko a kompas.

Jako příklad uvedeme √5 na skutečné přímce, pro kterou nakreslíme pravoúhlý trojúhelník se stranami x = 2 a y = 1, jak je znázorněno na obrázku:

Obrázek 3. Metoda lokalizace iracionálního čísla na skutečné linii. Zdroj: F. Zapata.

Podle Pythagorovy věty je přetížení takového trojúhelníku následující:

c = ^{-2 2} + 1 ² = -4 + 1 = -5

Nyní je kompas umístěn s bodem na 0, kde je také jeden z vrcholů pravého trojúhelníku. Bod kompasové tužky by měl být ve vrcholu A.

Oblouk obvodu je nakreslen, který se prořízne na skutečnou linii. Protože vzdálenost mezi středem obvodu a jakýmkoli bodem na něm je poloměr, který je roven √5, je průsečík také daleko od středu √5.

Z grafu je vidět, že √5 je mezi 2 a 2,5. Kalkulačka nám dává přibližnou hodnotu:

5 = 2,236068

A tak vytvořením trojúhelníku s vhodnými stranami lze najít iracionální, například √7 a další.

Klasifikace iracionálních čísel

Iracionální čísla jsou rozdělena do dvou skupin:

-Algebraický

-Transcendental nebo transcendentální

Algebraická čísla

Algebraická čísla, která mohou nebo nemusí být iracionální, jsou řešení polynomiálních rovnic, jejichž obecná podoba je:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Příkladem polynomiální rovnice je kvadratická rovnice, jako je tato:

x ³ - 2x = 0

Je snadné ukázat, že iracionální číslo √2 je jedním z řešení této rovnice.

Transcendentní čísla

Na druhé straně transcendentní čísla, i když jsou iracionální, nikdy nevznikají jako řešení polynomiální rovnice.

Transcendentní čísla nalezená nejčastěji v aplikované matematice jsou π, kvůli jeho vztahu s obvodem a číslem e, nebo Eulerovým číslem, které je základem přirozených logaritmů.

Cvičení

Šedý čtverec je umístěn na černém čtverci v poloze uvedené na obrázku. Území černým čtvercem je známo, že je 64 cm ². Kolik jsou délky obou čtverců?

Obrázek 4. Dva čtverce, z nichž chceme najít délku stran. Zdroj: F. Zapata.

Odpověď

Plocha čtverce se stranou L je:

A = L ²

Protože černý čtverec má plochu 64 cm ², musí být jeho strana 8 cm.

Toto měření je stejné jako úhlopříčka šedého čtverce. Při použití Pythagorovy věty na tuto úhlopříčku a vzpomínáme, že strany čtverce měří to samé, budeme mít:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Kde L _g je strana šedého čtverce.

Proto: 2 L _g ² = 8 ²

Použití druhé odmocniny na obě strany rovnosti:

L _g = (8 / √2) cm

Reference

1. Carena, M. 2019. Předuniverzitní matematická příručka. Národní univerzita v Litoralu.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 9.. Stupeň. Vydání CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Vzdělávací portál. Iracionální čísla a jejich vlastnosti. Obnoveno z: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Iracionální čísla. Obnoveno z: es.wikipedia.org.