RACIONÁLNÍ ČÍSLA: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY A OPERACE - MATEMATIKA - 2025

Tyto racionální čísla jsou všechna čísla mohou být získány jako dělení dvou celých čísel. Příklady racionálních čísel jsou: 3/4, 8/5, -16/3 a čísla, která jsou uvedena na následujícím obrázku. V racionálním čísle je uveden kvocient, který lze v případě potřeby provést později.

Obrázek představuje jakýkoli předmět, kulatý pro větší pohodlí. Pokud ji chceme rozdělit na 2 stejné části, jako v pravici, zbývají dvě poloviny a každá z nich má hodnotu 1/2.

Obrázek 1. Racionální čísla se používají k rozdělení celku na několik částí. Zdroj: Freesvg.

Rozdělením na 4 stejné části získáme 4 kusy a každá z nich má hodnotu 1/4, jako na obrázku uprostřed. A pokud to musí být rozděleno do 6 stejných částí, každá část by měla hodnotu 1/6, což vidíme na obrázku vlevo.

Samozřejmě bychom to mohli také rozdělit na dvě nestejné části, například bychom si mohli ponechat 3/4 části a ušetřit 1/4 části. Jsou možné i jiné divize, jako jsou 4/6 díly a 2/6 díly. Důležité je, že součet všech částí je 1.

Tímto způsobem je zřejmé, že pomocí racionálních čísel můžete rozdělit, počítat a distribuovat věci jako jídlo, peníze, půdu a všechny druhy předmětů ve zlomcích. A tak se rozšiřuje počet operací, které lze s čísly provádět.

Racionální čísla lze také vyjádřit v desítkové podobě, jak je vidět na následujících příkladech:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333…..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Později ukážeme, jak přejít z jednoho formuláře do druhého s příklady.

Vlastnosti racionálních čísel

Racionální čísla, jejichž množinu označíme písmenem Q, mají následující vlastnosti:

-Q zahrnuje přirozená čísla N a celá čísla Z.

Vzhledem k tomu, že libovolné číslo a lze vyjádřit jako kvocient mezi sebou a 1, je snadné vidět, že mezi racionálními čísly jsou také přirozená čísla a celá čísla.

Přirozené číslo 3 tedy lze napsat jako zlomek a také -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Tímto způsobem je Q numerická množina, která obsahuje větší počet čísel, což je velmi důležité, protože „kulatá“ čísla nestačí k popisu všech možných operací.

- Racionální čísla lze sčítat, odečítat, násobit a dělit, přičemž výsledkem operace je racionální číslo: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Mezi každou dvojicí racionálních čísel lze vždy najít jiné racionální číslo. Ve skutečnosti mezi dvěma racionálními čísly existují nekonečná racionální čísla.

Mezi racionály 1/4 a 1/2 jsou například racionály 3/10, 7/20, 2/5 (a mnoho dalších), které lze ověřit jejich vyjádřením jako desetinná místa.

- Jakékoli racionální číslo lze vyjádřit jako: i) celé číslo nebo ii) omezené (přísné) nebo periodické desetinné místo: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

- Stejné číslo může představovat nekonečné ekvivalentní zlomky a všechny patří do Q. Podívejme se na tuto skupinu:

Všichni představují desetinné číslo 0,428571…

-Za všechny ekvivalentní zlomky, které představují stejné číslo, je neredukovatelná frakce, nejjednodušší ze všech, kanonickým zástupcem tohoto čísla. Kanonický zástupce výše uvedeného příkladu je 3/7.

Obrázek 2.- Množina Q racionálních čísel. Zdroj: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Příklady racionálních čísel

-Vlastní zlomky, ve kterých je čitatel menší než jmenovatel:

- zlomkové zlomky, jejichž čitatel je větší než jmenovatel:

- přirozená čísla a celá čísla:

- ekvivalentní zlomky:

Desetinné vyjádření racionálního čísla

Když je čitatel dělen jmenovatelem, je nalezena desetinná forma racionálního čísla. Například:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,111111…

6/11 = 0,545454…

V prvních dvou příkladech je počet desetinných míst omezený. To znamená, že po dokončení dělení se konečně získá zbytek 0.

Na druhé straně v následujících dvou je počet desetinných míst nekonečný, a proto jsou umístěny elipsy. V druhém případě existuje vzorec v desetinách. V případě zlomku 1/9 se číslo 1 opakuje na neurčito, zatímco v 6/11 to je 54.

Když k tomu dojde, je desetinné místo označeno jako periodické a je označeno stříškou jako je tato:

Transformujte desetinné místo na zlomek

Pokud se jedná o omezené desetinné místo, čárka se jednoduše odstraní a jmenovatel se stane jednotkou následovanou tolik nulami, kolik je desetinných čísel. Například pro transformaci desetinné čárky 1.26 na zlomek napište to takto:

1,26 = 126/100

Výsledná frakce je pak maximálně zjednodušena:

126/100 = 63/50

Je-li desetinné místo neomezené, je nejprve identifikováno období. Následují tyto kroky k nalezení výsledné frakce:

- Čitatel je odčítání mezi číslem (bez čárky nebo stříška) a částí, která nemá stříšku.

- Jmenovatel je celé číslo s tolika 9, kolik je čísel pod obvodem, a tolik 0, kolik je desetinných částí, které nejsou pod obvodem.

Podívejme se na tento postup a změníme desetinné číslo 0,428428428… na zlomek.

- Nejprve je identifikována perioda, což je sekvence, která se opakuje: 428.

-Po provedení operace se odečte číslo bez čárky nebo přízvuku: 0428 od části, která nemá obrys, což je 0. Zůstane to takto 428 - 0 = 428.

-Jmenovatel je konstruován s vědomím, že pod kruhovým kruhem jsou 3 postavy a všechny jsou pod kruhovým kruhem. Jmenovatel je tedy 999.

- Nakonec se zlomek vytvoří a pokud možno zjednoduší:

0,428 = 428/999

Není možné více zjednodušit.

Operace s racionálními čísly

- Přidat a odečíst

Zlomky se stejným jmenovatelem

Když mají frakce stejný jmenovatel, je jejich přidání a / nebo odečtení velmi snadné, protože čitatelé se jednoduše přidávají algebraicky, takže stejné jako přidané jako jmenovatel výsledku. Nakonec, pokud je to možné, je to zjednodušeno.

Příklad

Proveďte následující algebraické přidání a zjednodušte výsledek:

Výsledná frakce je již neredukovatelná.

Zlomky s různými jmenovateli

V tomto případě jsou přísady nahrazeny ekvivalentními frakcemi se stejným jmenovatelem a poté je dodržen výše popsaný postup.

Příklad

Algebraicky přidejte následující racionální čísla, což zjednoduší výsledek:

Kroky jsou:

- Určete nejméně obyčejný násobek (lcm) jmenovatelů 5, 8 a 3:

lcm (5,8,3) = 120

To bude jmenovatelem výsledné frakce bez zjednodušení.

-Pro každou frakci: dělíte LCM jmenovatelem a vynásobte čitatelem. Výsledek této operace se umístí s příslušným znaménkem do čitatele zlomku. Tímto způsobem se získá zlomek ekvivalentní původnímu, ale s LCM jako jmenovatelem.

Například pro první zlomek je čitatel konstruován takto: (120/5) x 4 = 96 a dostaneme:

Stejným způsobem postupujte pro zbývající frakce:

Nakonec se ekvivalentní zlomky nahradí, aniž by se zapomnělo na jejich znaménko, a provede se algebraický součet čitatelů:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Násobení a dělení

Násobení a dělení se provádí podle níže uvedených pravidel:

Obrázek 3. Pravidla pro násobení a dělení racionálních čísel. Zdroj: F. Zapata.

V každém případě je důležité si uvědomit, že násobení je komutativní, což znamená, že pořadí faktorů nezmění produkt. Toto se nestane s dělením, takže je třeba dbát na respektování pořadí mezi dividendou a dělitelem.

Příklad 1

Proveďte následující operace a zjednodušte výsledek:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4/5) ÷ (2/9)

Odpovědět

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Odpověď b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Příklad 2

Luisa měla 45 dolarů. Desetinu utratil nákupem knihy a 2/5 toho, co zbylo na tričku. Kolik peněz zbyla Luisa? Vyjádřete výsledek jako ireducibilní zlomek.

Řešení

Cena knihy (1/10) x $ 45 = 0,1 x $ 45 = 4,5 $

Luisa proto zůstala:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

S těmito penězi šla Luisa do obchodu s oblečením a koupila si tričko, jehož cena je:

(2/5) x 40,5 = 16,2 $

Nyní má Luisa ve svém portfoliu:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Chcete-li vyjádřit jako zlomek, je psáno takto:

24,3 = 243/10

To je neredukovatelné.

Reference

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Kodex vydání a distribuce.
2. Carena, M. 2019. Manuál matematiky. Národní univerzita v Litoralu.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Racionální čísla. Obnoveno z: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionální čísla. Obnoveno z: webdelprofesor.ula.ve.