REÁLNÁ ČÍSLA: HISTORIE, PŘÍKLADY, VLASTNOSTI, OPERACE - MATEMATIKA - 2025

Na reálných čísel tvoří číselnou řadu, která obsahuje přirozená čísla, celá čísla, racionální a iracionální. Jsou označeny symbolem ℝ nebo jednoduše R a jejich rozsah ve vědě, strojírenství a ekonomii je takový, že když mluvíme o „čísle“, je téměř samozřejmé, že jde o skutečné číslo.

Skutečná čísla byla používána od starověku, ačkoli oni nedostali toto jméno. Již od doby, kdy Pythagoras vyvinul svou slavnou větu, vznikla čísla, která nemohla být získána jako kvocienty přirozených čísel nebo celých čísel.

Obrázek 1. Venn diagram ukazující, jak sada reálných čísel obsahuje další sady čísel. Zdroj> Wikimedia Commons.

Příklady čísel jsou √2, √3 a π. Tato čísla jsou nazývána iracionální, na rozdíl od racionálních čísel, která pocházejí z kvocientů celých čísel. Bylo tedy nutné vytvořit číselnou sadu, která zahrnuje obě třídy čísel.

Termín „reálné číslo“ byl vytvořen velkým matematikem René Descartesem (1596-1650), aby rozlišil mezi dvěma druhy kořenů, které mohou vyplynout z řešení polynomiální rovnice.

Některé z těchto kořenů mohou být dokonce kořeny záporných čísel, Descartes označil tato „imaginární čísla“ a ta, která nebyla, byla skutečná čísla.

Jmenování přetrvávalo v průběhu času, což vedlo ke vzniku dvou velkých číselných souborů: reálných čísel a komplexních čísel, větší sady, která zahrnuje reálná čísla, imaginární čísla a čísla, která jsou část skutečná a částečně imaginární.

Vývoj reálných čísel pokračoval ve svém průběhu až do roku 1872, matematik Richard Dedekind (1831-1936) formálně definoval množinu reálných čísel prostřednictvím tzv. Dedekindových řezů. Syntéza jeho práce byla publikována v článku, který viděl světlo toho samého roku.

Příklady reálných čísel

V následující tabulce jsou uvedeny příklady skutečných čísel. Tato sada má jako podmnožiny přirozená čísla, celá čísla, racionální a iracionální. Jakýkoli počet těchto sad je sám o sobě skutečné číslo.

Proto 0, negativy, pozitiva, zlomky a desetinná čísla jsou reálná čísla.

Obrázek 2. Příklady reálných čísel jsou přirozená, celá čísla, racionální, iracionální a transcendentní. Zdroj: F. Zapata.

Reprezentace reálných čísel na reálném řádku

Reálná čísla mohou být znázorněna na skutečné linii R, jak je znázorněno na obrázku. Není nutné, aby 0 bylo vždy přítomno, je však vhodné vědět, že negativní realita je nalevo a pozitivní realita vpravo. Proto je to vynikající referenční bod.

Na reálném řádku se zobrazí měřítko, ve kterém se nacházejí celá čísla:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Šipka označuje, že se linie rozšiřuje do nekonečna. Ale to není vše, v každém uvažovaném intervalu také vždy najdeme nekonečná reálná čísla.

Reálná čísla jsou znázorněna v pořadí. Začněte tím, že existuje pořadí celých čísel, ve kterých jsou klady vždy větší než 0, zatímco zápory jsou menší.

Tato objednávka je udržována v reálných číslech. Jako příklad jsou uvedeny následující nerovnosti:

a) -1/2 <-2

b) e <π

c) π> -1/2

Obrázek 3.- Skutečná čára. Zdroj: Wikimedia Commons.

Vlastnosti reálných čísel

-Realská čísla zahrnují přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla a iracionální čísla.

- Komutativní vlastnost sčítání je splněna: pořadí doplňků nemění částku. Pokud a a b jsou dvě reálná čísla, je vždy pravda, že:

a + b = b + a

- 0 je neutrální prvek součtu: a + 0 = a

- Pro částku je asociativní vlastnost splněna. Pokud a, b a c jsou reálná čísla: (a + b) + c = a + (b + c).

- Opak skutečného čísla je -a.

- Odčítání je definováno jako součet opaku: a - b = a + (-b).

-Komutativní vlastnost produktu je splněna: pořadí faktorů nezmění produkt: ab = ba

-V produktu je použita asociativní vlastnost: (ab).c = a. (Bc)

- 1 je neutrální prvek násobení: a.1 = a

- Distribuční vlastnost multiplikace je platná s ohledem na sčítání: (b + c) = ab + ac

- Rozlišení 0 není definováno.

-Každé reálné číslo a, kromě 0, má multiplikativní inverzi ^-1, takže aa ^-1 = 1.

-Je-li a skutečné číslo: ⁰ = 1 a ¹ = a.

- Absolutní hodnota nebo modul reálného čísla je vzdálenost mezi uvedeným číslem a 0.

Operace se skutečnými čísly

S reálnými čísly můžete provádět operace, které jsou prováděny s jinými číselnými sadami, včetně sčítání, odčítání, násobení, dělení, zmocnění, radiace, logaritmy a další.

Jako vždy není dělení 0 definováno, ani logaritmy záporných čísel ani 0, ačkoli je pravda, že log 1 = 0 a logaritmy čísel mezi 0 a 1 jsou záporné.

Aplikace

Aplikace reálných čísel na všechny druhy situací jsou velmi rozmanité. Skutečná čísla se objevují jako odpovědi na mnoho problémů v přesné vědě, informatice, strojírenství, ekonomii a sociální vědě.

Všechny druhy velikostí a veličin, jako jsou vzdálenosti, časy, síly, intenzita zvuku, peníze a mnoho dalších, se projevují v reálných číslech.

Přenos telefonních signálů, obrazu a zvuku videa, teploty klimatizačního zařízení, topného tělesa nebo chladničky lze ovládat digitálně, což znamená přeměnu fyzických veličin na numerické sekvence.

Totéž se stane, když provádíte bankovní transakci přes internet nebo konzultujete rychlé zasílání zpráv. Skutečná čísla jsou všude.

Cvičení vyřešeno

U cvičení uvidíme, jak tato čísla fungují v běžných situacích, se kterými se denně setkáváme.

Cvičení 1

Pošta přijímá pouze balíčky, u nichž délka plus obvodový rozměr nepřesahuje 108 palců. Proto, aby byl zobrazený balíček přijat, musí být splněno, že:

L + 2 (x + y) <108

a) Dokáže to balíček o šířce 6 palců, výšce 8 palců a délce 5 stop?

b) A co ten, který měří 2 x 2 x 4 ft ³ ?

c) Jaká je nejvyšší přijatelná výška pro obal, jehož základna je čtvercová a měří 9 x 9 palců ² ?

Odpovědět

L = 5 stop = 60 palců

x = 6 palců

y = 8 palců

Řešením je:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) palců = 60 + 2 x 14 palců = 60 + 28 palců = 88 palců

Balíček je přijat.

Odpověď b

Rozměry tohoto paketu jsou menší než paket a), takže jej prochází.

Odpověď c

V tomto balíčku:

x = L = 9 palců

Je třeba poznamenat, že:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2r ≤ 108

2y ≤ 81

a ≤ 40,5 palce

Reference

1. Carena, M. 2019. Předuniverzitní matematická příručka. Národní univerzita v Litoralu.
2. Diego, A. Reálná čísla a jejich vlastnosti. Obnoveno z: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 9.. Stupeň. Vydání CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5. Edice. Cengage Learning.